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Kay Schönberger (kay_s)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: kay_s
Nummer des Beitrags: 107 Registriert: 01-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 25. November, 2002 - 17:09: |
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Hallo, Bei dem folgenden Problem habe ich bisher noch keinen vielversprechenden Ansatz: Sei f = f(x) Funktion und c beliebig gewählte Konstante. Das Substitutionsproblem der Funktion f besteht nun darin, eine (nichttriviale) Funktion y = y(x) zu finden, so das gilt: f(x) = f(y(x)) * y'(x) * c (Nichttrivial heißt, daß z. B. für c=1 nicht y=Id ist) Beispielsweise ist für f(x) = 1/(1+x2), c = -2 y(x) = (sqrt(1+x2)+1)/x eine Lösung. Für sehr einfache Funktionen f findet man (meist durch Probieren) recht schnell eine Lösung, eine allgemeine Lösungsmethode ist mir aber noch nicht bekannt. Kay S. |
heimdall (gjallar)
Junior Mitglied Benutzername: gjallar
Nummer des Beitrags: 9 Registriert: 11-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 25. November, 2002 - 18:01: |
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Sei F(x) eine Stammfunktion von f(x), also F'(x)=f(x). Integriere die Funktionalgleichung nach x: F(x) = F(y(x)) * c + d mit beliebiger Integrationskonstante d. Falls nun die Umkehrfunktion der Stammfunktion F-1(x) existiert, kann man formal nach y(x) auflösen: y(x) = F-1((F(x)-d)/c) In deinem Beispiel: f(x) = 1/(1+x²) , c = -2 F(x) = arctan(x) , F-1(x) = tan(x) y(x) = tan((arctan(x)-d)/(-2)) = (sin(d) - x*cos(d))/(cos(d) + x*sin(d) + Ö(x²+1)) speziell für d = -p y(x) = x / (Ö(x²+1) - 1) = (Ö(x²+1) + 1) / x
Gruß, Gjallar
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Kay Schönberger (kay_s)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: kay_s
Nummer des Beitrags: 108 Registriert: 01-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 25. November, 2002 - 18:50: |
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Hallo, Du hast Recht, formal kann man immer den Ansatz y(x) = F-1(F(x)/c) machen. Ich denke, das eigentliche Problem besteht darin, auch dann eine Lösung zu finden, wenn F(x) nicht so ohne weiteres angebbar ist, z. B. im Fall f(x) = ex/x. Dann kann es ja dennoch durchaus sein, daß y(x) = F-1(F(x)/c) eine Lösung in elementarer Form produziert. Gruß Kay S. |
heimdall (gjallar)
Junior Mitglied Benutzername: gjallar
Nummer des Beitrags: 10 Registriert: 11-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 26. November, 2002 - 08:50: |
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Nun, zumindest entfällt bei einfachen Funktionen das von dir erwähnte Probieren und man erhält durch den freien Parameter d auch für c=1 eine nichttriviale Lösung. Etwas allgemeiner ist folgende Methode anwendbar: Sei f an den (nicht notwendig verschiedenen) Stellen x0 und x1 beliebig oft differenzierbar und f(x1) ungleich 0. Dann kann y(x) durch den Ansatz y(x0) = x1 (durch wiederholtes Differenzieren der Funktionalgleichung) um x0 in eine Taylorreihe entwickelt werden. f(x0) = f(x1) * y'(x0) * c ==> y'(x0) = f(x0)/(f(x1) * c) f'(x0) = f'(x1) * (y'(x0))² * c + f(x1) * y''(x0) * c ==> y''(x0) ... (Beitrag nachträglich am 26., November. 2002 von gjallar editiert) Gruß, Gjallar
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