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Christoph Hamar (chamar)
Neues Mitglied
Benutzername: chamar
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. November, 2002 - 11:44: | 
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Hi Leute,
Ich hätte da ein Problem mit einer Aufgabe. Eigentlich fehlt mir schon die Idee dazu, wär schön, wenn mir jemand bissel auf die Sprünge helfen könnte.
Beweise: Sei k eine natürliche Zahl; dann gibt es rationale Zahlen di (i=0,1,...k+1) mit SUMME(von m=1 bis n-1 von m^k) = SUMME(von i=0 bis k+1 von di*n^i).
Ich hoffe, das ist so lesbar, wenn nicht kann ich die Aufgabe gerne auch noch als Grafik hochladen.
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Gruesse,
Christoph |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 364
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. November, 2002 - 08:45: |
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Christoph,
Vorschlag: Vollständige Induktion bzgl. k.
Setze zur Abkürzung
Sn-1 m=1mk =: Sk(n).
Dann gilt S0(n) = n-1,
S1(n)=(1/2)n2 - (1/2)n.
Die Behauptung sei für Exponenten 0 bis
k-1 > 0 schon bewiesen. Nun gilt nach dem binomischen Satz:
(m+1)k+1 - mk = (k+1)mk
+ (1/2)k(k+1)mk-1 + ... + 1.
Bildet man beiderseits die Summe über m
von 1 bis n-1, so erhält man
nk+1-1 = (k+1)Sk(n)
+ (1/2)k(k+1)Sk-1(n) + ... + n-1.
Löse dies nach Sk(n) auf und verwende
die Induktionsannahme !
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