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Eddie (Steinb)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. September, 2001 - 13:38: | 
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Kann mir jemand helfen?
Man bestimme unter allen gleichschenkligen Dreiecken mit fester Schenkellänge dasjenige
mit dem größten Flächeninhalt!
Danke!!! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. September, 2001 - 15:22: |
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Eddie:
Bezeichnungen :
a:= gegebeneSchenkellaenge , b = 2x := Basis,
h:= Hoehe auf b, F := Flaecheninhalt.
Dann ist 2F = xh, und nach Pythagoras
h^2 = a^2 - x^2.
Die Sache vereinfacht sich, wenn man bedenkt, dass
F genau dann maximal wird, wenn auch 4F^2
maximal wird. Wir haben also x so zu bestimmen, dass
f(x) := x^2*(a^2 - x^2) = a^2*x^2 - x^4
maximal wird, wobei 0 < x < a gelten muss.
Man kann jetzt Differentialrechnung einsetzen,
es geht aber auch ohne. Mittels quadratischer
Ergaenzung formt man f(x) so um:
f(x) = a^4/4 - (x^2 - a^2/2)^2
Demnach ist f(x) =< a^4/4, und "=" gilt genau
dann wenn x = a/sqrt(2). FŸr die Maximalfigur
ist also b =a*sqrt(2).
Das ist natŸrlich immer noch viel zu kompliziert,
es geht auch ohne Rechnung. Betrachte den
Halbkreis Ÿber dem Durchmesser AB mit |AB| = 2a
und Mittelpunkt M, darauf einen variablen Punkt Q.
Unter allen Dreiecken AMQ hat den groessten Inhalt
dasjenige mit der groessten Hoehe auf AM, also
mit MQ senkrecht AM.
mfG
Hans |
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