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Eddie (Steinb)
| Veröffentlicht am Samstag, den 15. September, 2001 - 13:38: |
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Kann mir jemand helfen? Man bestimme unter allen gleichschenkligen Dreiecken mit fester Schenkellänge dasjenige mit dem größten Flächeninhalt! Danke!!! |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Samstag, den 15. September, 2001 - 15:22: |
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Eddie: Bezeichnungen : a:= gegebeneSchenkellaenge , b = 2x := Basis, h:= Hoehe auf b, F := Flaecheninhalt. Dann ist 2F = xh, und nach Pythagoras h^2 = a^2 - x^2. Die Sache vereinfacht sich, wenn man bedenkt, dass F genau dann maximal wird, wenn auch 4F^2 maximal wird. Wir haben also x so zu bestimmen, dass f(x) := x^2*(a^2 - x^2) = a^2*x^2 - x^4 maximal wird, wobei 0 < x < a gelten muss. Man kann jetzt Differentialrechnung einsetzen, es geht aber auch ohne. Mittels quadratischer Ergaenzung formt man f(x) so um: f(x) = a^4/4 - (x^2 - a^2/2)^2 Demnach ist f(x) =< a^4/4, und "=" gilt genau dann wenn x = a/sqrt(2). FŸr die Maximalfigur ist also b =a*sqrt(2). Das ist natŸrlich immer noch viel zu kompliziert, es geht auch ohne Rechnung. Betrachte den Halbkreis Ÿber dem Durchmesser AB mit |AB| = 2a und Mittelpunkt M, darauf einen variablen Punkt Q. Unter allen Dreiecken AMQ hat den groessten Inhalt dasjenige mit der groessten Hoehe auf AM, also mit MQ senkrecht AM. mfG Hans |
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