| Autor |
Beitrag |
    
Marco
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. September, 2001 - 13:03: | 
|
Hallo Ihr!
Ich hoffe hier finde ich eine Lösung:
Die Aufgabe lautet:
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion und Indexverschiebung folgende Gleichung:
Sigma von k=1 bis 2n von [(-1) hoch(k-1)]/k ist gleich Sigma von k=1 bis n von 1/(n+k)
also suche ich den Beweis das beide Summen gleich sind,ich hoffe ihr habt eine Idee.
Vielen Dank schon mal, Gruss Marco |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. September, 2001 - 15:05: |
|
Marco :
Nenne die linke Summe L(n), die rechte R(n).
Dann ist L(1) = R(1) = 1/2 .
Ferner gilt
L(n+1) = L(n) + 1/(2n+1) - 1/(2n+2)
= L(n) + 1/[(2n+1)(2n+2)]
und
R(n+1) = sum[k=1..n+1]{1/(n+k+1)}
= sum[k=2..n+2]{1/(n+k)}
= sum[k=1..n+1]{1/(n+k)} - 1/(n+1)
= R(n) +1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1)
= R(n) + 1/[(2n+1)(2n+2)]
Somit gilt
L(n)=R(n) ==> L(n+1) = R(n+1)
Fertig.
mfg
Hans |
gerdm
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. September, 2001 - 15:08: |
|
Aber Hallo !
Du beginnst mit der Induktionsverankerung (Induktionsanfang) bei n=1:
(-1)^(1-1) /1 + (-1)^(2-1) /2 = 1-1/2 = 1/2= 1/(1+1).
Also stimmt die Gleichung für n=1.
Jetzt nimmst du an, dass die Gleichung für ein n stimmt (Induktionsvoraussetzung) und leitest die Gleichung für n+1 her (Induktionsschluss):
(Summe über k=1 bis 2(n+1) ) (-1)^(k-1) /k=
(Summe über k=1 bis 2n ) (-1)^(k-1) /k + (-1)^(2n+1-1)/(2n+1) + (-1)^(2n+2-1)/(2n+2);
die Summe ist nach I.V. gleich (Summe über k=1 bis n) 1/(n+k);
...=(Summe über k=1 bis n) 1/(n+k)+ 1/(2n+1) - 1/(2n+2);
in der Summe sollte jetzt (n+1+k) statt (n+k), darum Indexverschiebung: statt Summation von 1 bis n jetzt von 0 bis n-1 !!
Jetzt noch richtig zusammenfassen !!
Viel Spaß.
Gruß Gerd. |
|
