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Beitrag |
    
Martin
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 19:05: | 
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Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Man zeige:
Erfüllt c die Bedingung a£c£b und gilt a < b, so gibt es zwei eindeutig bestimmte Zahlen x, y derart, daß gilt:
c = x*a+y*b, 0£x£1, 0£y£1, x+y = 1.
a und b sind vorgegebene Zahlen, man kann sie sich nicht einfach nach Belieben aussuchen.
c liegt auf dem Zahlenstrahl nicht unbedingt genau in der Mitte zwischen a und b.
Der Beweis ist ohne Mittel der linearen Algebra zu erbringen.
Martin. |
sk
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 19:47: |
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Wo liegt denn c dann, wenn a£c£b gilt ? |
Martin
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 20:08: |
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Ich verstehe Deine Frage nicht ganz.
Ich male mal einen Zahlenstrahl:
|-----------------------------------------|
a c b
Hier liegt c viel näher bei a als bei b, also nicht genau in der Mitte der Strecke ab. Das meinte ich. Wenn c in meinem Sinne genau in der Mitte läge, könnte man einfach c = (a+b)/2 setzen und wäre aus dem Schneider.
c ist also nicht unbedingt das arithmetische Mittel von a und b.
Ich hoffe, das war verständlich.
Martin |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 20:09: |
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hi,
zu beweisen ist hier:
die Funktion f(x) = x*a + y*b = x*a +(1-x)*b; mit x E IR nimmt genau an einer Stelle x_0 den Wert c an und x_0 E [0;1]. (y_0 ist dann wegen y_0 = 1-x_0 auch sofort E [0;1] )
und das geht so:
f(0) = b; f(1) = a;
f'(x) = a - b < 0; (wegen b>a);
=>f(x) ist streng monton fallend und natürlich stetig, sie kann nur an einer Stelle den Wert c annehmen und das muss für x zwischen 0 und geschehen, da f(0) = b, f(1) = a und b>= c >=a. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. August, 2001 - 15:52: |
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Hallo :
Wenn es 2 Zahlen x,y mit der geforderten Eigenschaft gibt, dann muss gelten
ax + by = c , x + y = 1
Die eindeutige Loesung dieses Gleichungssystems
lautet
x = (b-c)/(b-a) , y = (c-a)/(b-a)
und fŸr diese Zahlen gilt in der Tat 0<x<1, 0<y<1.
Der Zwischenwertsatz ist hier wohl ein etwas zu
schweres GeschŸtz.
mfg
Hans |
Martin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. August, 2001 - 09:00: |
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Danke Hans,
genau so einen Beweis, der auf so einfache Mittel zurückgreift, habe ich gesucht.
Die einfachsten Beweise sind doch immernoch die elegantesten.
Nochmal Danke.
Martin |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. August, 2001 - 10:15: |
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Aber Lösung von Linearen Gleichungsystemen ist auch lineare Algebra ;-) |
HansMayer
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. August, 2001 - 10:55: |
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Wie spitzfindig... |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. August, 2001 - 19:18: |
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sicher, deshalb habs ichs ja mit Methoden der Analysis gemacht. Außerdem steht der Post unter Analysis. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 07:10: |
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Nach meinem Verstaendnis beginnt lineare Algebra
dort, wo der Begriff des Vektorraumes eingefŸhrt
wird und zum Tragen kommt. Dies hier ist elementare Schulalgebra.
mfg
Hans |
HansMayer
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 08:36: |
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Birdsong hat vollkommen recht, Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen bereits Achtklässler. Bis auf eine eventuelle Anwendung des Gauß-Algorithmus zur Lösung hat das aber ziemlich wenig mit linearer Algebra zu tun.
MfG Hans |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 13:28: |
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ok, das wusste ich nicht.
In der Schule macht man keine lin. alg. und ich bin noch Schüler.
Hab zwar ein buch über lin.alg. rumliegen, aber hatte mir noch keine gedanken gemacht, was da alles dazuzählt. |
HansMayer
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 13:47: |
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Hey Carmichael, du bist noch Schüler? In der wievielten Jahrgangsstufe bist Du denn anzutreffen? Wenn ich an Schule denke, ist meine erste Wortassoziation "Folterkammer" oder "Ort der Verdammnis". Nein, Schule ist echt nicht das Wahre.
Macht man bei euch in der Oberstufe keine lineare Algebra/analytische Geometrie? Naja, stimmt, in Schulen werden Vektorräume, wenn überhaupt, nur sehr oberflächlich behandelt.
MfG Hans |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 14:15: |
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Ja, die Schule ist schlimm. Mit nichts kann man sich richtig auseinandersetzen; überall soll man etwas was wissen, und das führt zu Verwirrung.
"Folterkammer": damit kann ich was anfangen!:-)
Hab Gott sei Dank nur noch ein Jahr vor mir, dann ist schluss damit!
In der Oberstufe machen wir ein wenig Analysis/Stochastik/analy.Geo.(aber eigentlich nicht abstrakt).
mfg |
HansMayer
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 18:58: |
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In der Schule bekommt man in Mathe zu jedem Thema nur einen Kalkül beigebracht, den man dann in der Arbeit einfach abspulen soll ohne näher darüber nachgedacht zu haben. Es werden keine Zusammenhänge vermittelt und die Übung des eigenen Denkens bleibt sowieso auf der Strecke. Und auf der Uni wundern sich dann alle Stundenten, daß alles plötzlich so anders und schwer ist.
Die Schulzeit ist eine einzige Aneinanderreihung von langweiligen Tagen, die man mit oberflächlichem Unterricht zubringt. Und man wartet die ganze Zeit nur darauf, daß es vorbeigeht.
Schwierige Jugend... L oder doch vielleicht J
Was die 13. Jahrgangsstufe anbelangt: da ist man sowieso nur damit beschäftigt, zu feiern, sich gegebenenfalls zu alkoholisieren und vielleicht ein klein wenig auf die Abiturprüfungen zu lernen. Es soll auch schon LKs gegeben haben, die in der Unterrichtszeit "Reise nach Jerusalem" gespielt haben.
MfG Hans |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. August, 2001 - 22:49: |
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