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Diagonalisierbarkeit einer Matrix

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dirk
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Veröffentlicht am Sonntag, den 12. August, 2001 - 17:23:   Beitrag drucken

hallo,

ist es Möglich die folgende Matrix A

3 3

0 3

zu diagonalisieren (ohne dem Verfahren mit der Jordan-Normalform).

man bekommt ja zwei gleiche Eigenwerte heraus aber nicht zwei linear unabhängige Eigenvektoren oder??

vielen dank
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superknowa
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Veröffentlicht am Sonntag, den 12. August, 2001 - 18:08:   Beitrag drucken

Hi dirk

Geometrisch gesehen handelt es sich um eine Scherstreckung.

Das charakteristische Polynom PA(l)=(3-l)2 zerfällt in Linearfaktoren.
Der Eigenwert 3 hat die geometrische Vielfachheit el = 2 (Hochzahl des Linearfaktors (3-l)),
der zugehörige Eigenraum hat aber nur die Dimension dl = 1 (da es nur einen Eigenvektor zu l=3 gibt).

Daher kann man, wie Du richtig bemerkt hast, A nicht diagonalisieren.

ciao
lnexp
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dirk
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Veröffentlicht am Sonntag, den 12. August, 2001 - 18:39:   Beitrag drucken

danke für diese schnelle antwort :-))
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 12. August, 2001 - 23:33:   Beitrag drucken

Hallo Dirk

Nur noch ein Zusatz: Hier kann man auch mit einfacher Argumentation zeigen, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist.

Der einzige Eigenwert der Matrix ist 3. Wäre also die Matrix diagonalisierbar, wäre sie ähnlich zu

(3 0)
(...)=3E
(0 3)

wobei E die 2x2-Einheitsmatrix ist. Wenn diese Matrizen ähnlich sind, so ist die ursprüngliche Matrix, nennen wir sie A=C-13EC, wobei C eine invertierbare Matrix ist. Aber nach den Rechenregeln der Matrizen ergibt sich

A=3C-1EC=3C-1C=3E, aber A ist nicht 3E, also kann A nicht diagonalisierbar sein.

viele Grüße
SpockGeiger
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Lnexp (Lnexp)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 12. August, 2001 - 23:54:   Beitrag drucken

Hallo Mr. Spock

Wann sind denn zwei Matrizen ähnlich?
Eine Definition wäre hilfreich.

ciao
lnexp
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Montag, den 13. August, 2001 - 00:07:   Beitrag drucken

Hi Lnexp

Zwei Matrizen A,B heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix C gibt, sodass A=C-1BC. C-1BC nennt man auch Konjugation von B unter C, es wird verwendet, wenn man die Matrix B als lineare Abbildung betrachtet, und bezüglich einer anderen Basis darstellen will. Ich dachte, die Definition würde zwangsläufig bei Diagonalisierbarkeit vorkommen, denn diagonalisieren tut man gerade so. Ist dies nicht der Fall, so bitte ich um Entschuldigung.

viele Grüße
SpockGeiger
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lnexp
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Veröffentlicht am Montag, den 13. August, 2001 - 00:15:   Beitrag drucken

Hallo

Bitte, wie diagonalisiert man

1 -1 0
-1 3 2
0 2 3

Ich kanns nicht besser hinschreiben.

lg
lnexp
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lnexp
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Veröffentlicht am Montag, den 13. August, 2001 - 00:21:   Beitrag drucken

Hi nochmal, bevor es zuviel wird:

Es gilt zwar der Satz:

Sei A eine symmetrische (n x n)-Matrix (d.h. A = At),
dann existiert eine invertierbare Matrix C mit der Eigenschaft: C-1AC=D ist Diagonalmatrix.

Aber im allgemeinen gilt das nicht, oder?

ciao
lnexp
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Montag, den 13. August, 2001 - 00:59:   Beitrag drucken

Hi Lnexp

Eine allgemeine Matrix ist nicht diagonalisierbar, daher gibt es die Jordan-Normalform, mehr kriegt man nicht.

viele Grüße
SpockGeiger

PS: Mein Nick ist SpockGeiger, ich nenn Dich ja auch nicht LN
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lnexp
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Veröffentlicht am Montag, den 13. August, 2001 - 01:18:   Beitrag drucken

Das ist ok, SpockGeiger.
Es war ein eigenartige Form der Beweisführung von Dir.
Aber sie stimmt doch.

ciao

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