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Beitrag |
    
Lars Weiser
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juli, 2001 - 11:27: | 
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Hallo, ich habe folgende Frage:
mittels welcher Methodik läßt sich generell die Beschränktheit einer Funktion f:R^m -> R^k
(speziell: f:R^3 -> R) nachprüfen (bitte, falls es möglich ist, mit ausführlicher Erläuterung) ?
Dankeschön im voraus
Gruß Lars |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juli, 2001 - 20:52: |
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Hallo :
Eine allgemein anwendbare Methode hierfŸr gibt
es leider nicht, man muss fŸr jeden Fall
besondere Rechnungen und Ueberlegungen anstellen.
Gruss
Hans |
Xell
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juli, 2001 - 23:52: |
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Hi Hans,
Es gibt aber doch sicherlich einige gängige Methoden, die
in vielen Fällen zum Ziel führen!?
Wäre nett, wenn du ein paar dieser näher erläutern, oder
zumindest auf deren Namen hinweisen, könntest.
Danke Im Voraus
und
lg |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Juli, 2001 - 08:07: |
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Mal ganz praktisch gesprochen, was machst du, wenn
die Aufgabe lautet: Gegeben ist die Funktion
f : D-->R mit f(x) :=...; zeigen Sie, dass
f(x) > 0 (auf diese Form laesst sich ja jede Abschaetzung der Art |g(x)|<M bringen) fŸr alle x in D. Da geht es also um Abschaetzen, und das ist bekanntlich eine Kunst.Vielleicht kommt man auch
zum Ziel, wenn man das Minimum von f bestimmt,
auf diese Weise kann man viele Ungleichungen der
Analysis beweisen. Schau mal in eine Monografie
Ÿber Ungleichungen, z.B. Mitrinovic. Die Fragestellung ist doch so allgemein, dass man nicht hoffen kann, ihr mit generellen Methoden
beizukommen. Ebensogut koennte man etwa fragen:
Mit welcher Methodik laesst sich generell eine
Gleichung f(x)=0 loesen ? Die Menge der denkbaren
f ist eben doch zu umfangreich und vielfaeltig.
Hoffentlich beeintraechtigt dies nicht deine
Begeisterung fŸr die Mathematik.
mfG
Hans |
Xell
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Juli, 2001 - 23:11: |
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Hi Hans,
Die Ungleichung (a+b)^n > a^n+b^n; a,b,n E IN u. > 0; n > 1 würde ich
beweisen durch die Abschätzung (a+b)^n > a^n+b^n+Z, wobei Z der zweite Summand
im Binom ist.
Dieser ist mit Sicherheit > 0 (kann man ja mit dem Binomialkoeff.
zeigen).
Aus (a+b)^n > a^n+b^n+Z > a^n+b^n
=> (a+b)^n > a^n+b^n, für n>1
Dies war zwar ein sehr einfaches Beispiel, aber habe ich das,
was du mit "abschätzen" meintest, so recht verstanden?
Danke schonmal für deine Rückmeldung.
Wie kommst du darauf, dass ich mich für Mathe beigeistere? :-)
lg |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juli, 2001 - 08:06: |
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Guten Morgen Xell :
Ja, das ist natŸrlich ein sehr einfaches Beispiel.
Man verkleinert einfach die linke Seite durch
Weglassen aller positiven Zwischenterme. So leicht
kommt man natŸrlich i.A. nicht davon. Versuche mal
folgendes :
FŸr positive reelle Zahlen a,b,c mit a+b+c=1
gilt
(1 + 1/a)(1 + 1/b)(1 + 1/c) >= 64.
Have fun
mfG Hans |
HansMayer
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juli, 2001 - 11:41: |
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Wie löst man das denn bitte???
Anders formuliert: Wie beweißt man, daß (1 + 1/a)(1 + 1/b)(1 + 1/c) für a=b=c=1/3 minimal wird?
Läuft die Aufgabe darauf hinaus, das Minimum einer Funktion von drei Variablen zu finden (bzw ist es eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung: Was ist das Minimum der Funktion f(a,b,c) = (1 + 1/a)(1 + 1/b)(1 + 1/c) unter der Nebenbedingung, daß a+b+c = 1)? Oder gibt es einen leichteren Ansatz, den ich übersehe?
MfG Hans |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juli, 2001 - 18:49: |
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Hallo :
Ja, man kann das natŸrlich als Minimumaufgabe
in 3 Variablen mit Nebenbedingung betrachten,
aber warum schweres GeschŸtz auffahren, wenn's
auch elementar geht ! Alles was man hier braucht
ist die AM-GM Ungleichung :
FŸr positive u,v,w gilt
[(u+v+w)/3]^3 >= uvw mit Gleichheit g.d.w. u=v=w,
und etwas Phantasie!
Viel Spass
Hans |
Xell
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Juli, 2001 - 09:56: |
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Hi Hans,
Momentan nehme ich einen Ferienjob wahr, der mich völlig einnimmt
und komme daher nicht zur Beantwortung.
Will sagen: Die Aufgabe ist nicht vergessen, die Lösung lässt
nur vielleicht noch etwas auf sich warten.
lg |
HansMayer
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 12:41: |
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Hallo,
ich möchte verhindern, daß dieses Posting in Vergessenheit gerät und bitte deshalb Xell und Hans (Birdsong) darum, sich noch einmal zu melden, damit die Aufgabe einen Abschluß findet.
MfG Hans |
Xell
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 15:37: |
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Hi HansMayer und Hans(Birdsong),
Ich muss eingestehen, dass mir bisher kein Argument einge-
fallen ist, mit dem ich die Aufgabe lösen konnte. Vielleicht
könntest du, Birdsong, das übernehmen ? Würde mich nämlich
schon interessieren, was da rauskommt. Ich hab auch schon
einen Freund aus meinem Mathe-LK dazu gefragt und auch er konnte
nix durchschlagendes finden.
Zugegeben, ich konnte immerhin schon nach kurzer Zeit zeigen,
dass im Falle von a = 1/3 und b > 1/3 und c < 1/3, die Ungleichung
stimmt, mehr aber leider nicht. :-(
Danke im Voraus für Klärung
lg, Xell |
Xell
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 15:42: |
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Noch eine Anmerkung zu Hans' Bemerkung:
Ja, man kann das natŸrlich als Minimumaufgabe
in 3 Variablen mit Nebenbedingung betrachten,
aber warum schweres GeschŸtz auffahren, wenn's
auch elementar geht ! Alles was man hier braucht
ist die AM-GM Ungleichung :
FŸr positive u,v,w gilt
[(u+v+w)/3]^3 >= uvw mit Gleichheit g.d.w. u=v=w,
und etwas Phantasie!
Tja, bisher dachte ich, dass ich Fantasie hätte und hab auch
vor, Mathe zu studieren. Da motiviert mich das natürlich nicht
grad. :-(
lg von mir |
Xaver
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 18:10: |
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An Xell:
Probier Dich mal an folgendem Problem: bestimme (x , y , z , u) |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 20:15: |
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HI,
ich hab die Aufgabe schonmal gemacht.
Die ist einfacher zu lösen, wenn man zusätzlich folgende AM-HM Ungleichung kennt:
(u+v+w)/3 >= 3 / ( 1/u + 1/v + 1/w ) ;
u,v,w E IR+;
soll nur so ne kleine Hilfe sein.
MfG |
HansMayer
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. August, 2001 - 11:03: |
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Hi Carmichael,
wenn Du die Lösung zu der Aufgabe kennst, kannst Du sie dann bitte hier ins Forum stellen? Es gibt bestimmt genug Besucher, die es interessieren würde.
MfG Hans
P.S.: Ich kann den Lösungsweg nicht hinschreiben, weil ich bei der Aufgabe einen echten Hänger habe. Ist wahrscheinlich im Prinzip ganz leicht, aber leider komme ich nicht drauf! |
Xell
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. August, 2001 - 13:58: |
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Hi,
Ich probier mal einen Ansatz:
(1+1/a)*(1+1/b)*(1+1/c) >= 64 ; a,b,c > 0 aus IR, a+b+c = 1
(1+1/a+1/b+1/(a*b))*(1+1/c) >= 64
(1+1/(ac)+1/(bc)+1/(abc)+1/c+1/a+1/b+1/(ab)) >= 64
([1/a+1/b+1/c]+1+1/(ac)+1/(bc)+1/(abc)+1/(ab)) >= 64
=> (10/9+1/(ac)+1/(bc)+1/(ab)+1/(abc)) >= 64
Hiermit habe ich die Hilfsungleichung benutzt. Bringt mich das
weiter ?
lg, Xell |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. August, 2001 - 14:57: |
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Hallo :
Mein Beweis geht so:
Nach Ausmultiplizieren der linken Seite (L.S.)
ergibt sich
L.S. = 1+{1/a+1/b+1/c}+{1/bc+1/ca+1/ab}+1/abc.
Wegen der Nebenbedingung ist die 2. Klammer = 1/abc, also
L.S. = 1 + {1/a+1/b+1/c} + 2/abc.
Wegen der Nebenbedingung und AH/GM ist abc =< 27
==> 2/abc >= 54 und
(1/a+1/b+1/c)^3>= 27/abc >= 27^2
==> 1/a+1/b+1/c >= 9.
Bemerkung: Die Aufgabe selbst stammt nicht von mir, ich habe sie aber mal in naheliegender Weise verallgemeinert und finde :
FŸr positive Zahlen a_1,...,a_n mit
a_1+...+a_n = s gilt die Ungleichung
(1+1/a_1)*(1+1/a_2)*...*(1+1/a_n) >= (1+n/s)^n
mit Gleichheit genau im Fall a_1=...=a_n=s/n.
Anleitung zum Beweis : Induktion bzgl. n unter
Benutzung der Hilfsfunktion
h(x):=[1+n/(s-x)]^n*(1+1/x) ; 0 < x < s
mfg
Hans |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. August, 2001 - 20:40: |
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Hi!
Die Verallgemeinerung ist recht schön und lässt sich auch mit Hilfe von AM-GM-HM zeigen.
AM-GM-HM-Ungleichung (aritmetisches mittel, geometrisches mittel, harmonisches mittel )allgemein:
(x_1+....+x_n)/n >= nSQR(x_1*....*x_n) >= n/(1/x_1 + .... + 1/x_n);
(nSQR(y) sei die n-te Wurzel aus y)
wegen GM-HM:
(1+1/a_1)*(1+1/a_2)*...*(1+1/a_n) >= [ n / ( 1/(1+1/a_1) + .... + 1/(1+1/a_n) ) ] ^n =
= [n/(a_1/(a_1+1) + .... + a_n/(a_n+1))] ^n =
[n/( 1 - 1/(a_1+1) + ....+ 1 - 1/(a_n+1))]^n =
= [n / (n - ( 1/(a_1+1) + .... + 1/(a_n+1) ) )]^n
nun wenden wir AM-HM noch auf 1/(a_1+1) + .... + 1/(a_n+1) an und erhalten:
.... >= [n/ (n - (n^2/(n+a_1+....+a_n)) )]^n =
= [1 / ( 1 - n/(n+s) )]^n = [(n+s)/n]^n = [1+s/n]^n ;
fertig :-)
und wer davon nicht genug bekommen kann, kann ja die hier noch lösen:
bc/(b+c) + ca/(c+a) + ab/(a+b) <= 1/2(a+b+c);
oder auch die hier:
a^2 + b^2 + c^2 >= ab+bc+ac;
MfG
Carmichael |
Martin
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. August, 2001 - 09:00: |
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Hilfe! Wie soll man die denn lösen???
Martin |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. August, 2001 - 15:48: |
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Hallo :
(1) Aus bc =< [(b+c)/2] etc. folgt sofort
bc/(b+c) + ca/(c+a) + ab/(a+b) =< (a+b+c)/2
mit " = " g.d.w. a=b=c.
(2) Folgt unmittelbar aus
(b-c)^2 + (c-a)^2 + (a-b)^2 >= 0.
mfg
Hans |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. August, 2001 - 17:13: |
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HI,
Hans: bei (1) hast du dich wohl verschrieben; das muss sqr(bc) =< [(b+c)/2] heißen bzw.
bc/(b+c) <= (b+c)/4.
(2) lässt sich auch mit Cauchy-Schwarz zeigen.
Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung:
seien u,v Vektoren im IR^n, dann gilt:
|u|*|v| >= <u,v>
wobei <u,v> das Skalarprodukt von u und v sei.
ohne Vektoren formuliert sieht die Ungleichung so aus:
sqr[(x_1^2+...+x_n^2)(y_1^2+....+y_n^2)] >= x_1*y_1 + .... + x_n*y_n;
mit x_1,...,y_n reel-positiv
Wer will kann mit dieser Ungleichung die AM-HM Ungleichung zeigen, oder auch AM-HM gleich direkt zeigen(Tip: x/y + y/x >=2;)
und hier noch eine harte für Hans 
a/sqr(a^2+8bc) + b/sqr(b^2+8ac) + c/sqr(c^2+8ab) >= 1; mit a,b,c reel-positiv
MfG |
Martin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. August, 2001 - 12:26: |
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Kann die Lösung dieser Ungleichung bitte auch ins Forum gestellt werden?
Martin. |
Martin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. August, 2001 - 10:52: |
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Hallo, seid ihr noch da??? |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. August, 2001 - 16:44: |
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ja wir leben noch :-)
versuch doch selber mal etwas rumzuprobieren, brauchst eh nur die AM GM HM etwas rumzukombinieren, so schwer ist die auch nicht, wenn es auch ne IMO Aufgabe war.
zur Übung:
1/(b+c-a)+1/(c+a-b)+1/(b+a-c) >= 9/(a+b+c)
mit AM-HM lösen. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. August, 2001 - 07:05: |
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Hallo :
Die Loesung der IMO - Aufgabe kann man nachlesen
bei
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln012.html |
Martin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. August, 2001 - 11:03: |
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Über die Ungleichung a/Ö(a2+8bc) + b/Ö(b2+8ac) + c/Ö(c2+8ab) ³ 1 kann ich überhaupt nicht mehr nachdenken, seitdem ich weiß, daß die mal bei einer IMO gestellt wurde. Die bekomme ich sowieso nicht raus...
Martin |
Martin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. August, 2001 - 11:22: |
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Hallo nochmal,
auf der von Hans angegebenen Seite wird die Ungleichung mithilfe von Cauchy-Schwarz gelöst. Carmichael hat aber, sofern ich das richtig verstanden habe, angedeutet, daß auch eine Lösung mit den AM-GM-HM-Ungleichungen möglich wäre.
Könntest Du deine Andeutungen vielleicht noch ein wenig vertiefen?
Martin
P.S.: Der Link von Hans funktioniert übrigens nicht, weil er nicht vollständig ist. In aller Funktionsfähigkeit lautet er: http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln012.html. |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. August, 2001 - 15:36: |
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HI,
sorry, ich hatte mich getäuscht. Ich dachte die wäre auch mit am-gm-hm lösbar.. |
Georg
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 10:17: |
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Hallo,
ich habe eure Beiträge gelesen. Da steht, daß man die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem harmonischen Mittel mit Hilfe der Ungleichung von Cauchy-Schwarz beweisen kann.
Wie soll das gehen? Da kommen doch Wurzeln bzw. Quadrate von Zahlen vor. Was setzt man für xi bzw für yi? Und was bringt mir der Tip y/x + x/y ³ 2 für einen direkten Beweis?
Bin etwas verwirrt.
Georg |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 10:56: |
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Hallo,
(a_1+....+a_n)/n >= n/(1/a_1 + .... + 1/a_n);
AM-HM umformen:
(2) (a_1+....+a_n)(1/a_1 + .... + 1/a_n) >= n^2;
mit Cauchy-Schwarz:
setze x_i = sqr(a_i) und y_i = 1/sqr(a_i).
direkt:
multipliziere (2) aus...
AM-HM lässt sich leicht zeigen, da es ne relativ schwache Ungleichung ist. |
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