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Lars Weiser
| Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juli, 2001 - 11:27: |
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Hallo, ich habe folgende Frage: mittels welcher Methodik läßt sich generell die Beschränktheit einer Funktion f:R^m -> R^k (speziell: f:R^3 -> R) nachprüfen (bitte, falls es möglich ist, mit ausführlicher Erläuterung) ? Dankeschön im voraus Gruß Lars |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juli, 2001 - 20:52: |
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Hallo : Eine allgemein anwendbare Methode hierfŸr gibt es leider nicht, man muss fŸr jeden Fall besondere Rechnungen und Ueberlegungen anstellen. Gruss Hans |
Xell
| Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juli, 2001 - 23:52: |
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Hi Hans, Es gibt aber doch sicherlich einige gängige Methoden, die in vielen Fällen zum Ziel führen!? Wäre nett, wenn du ein paar dieser näher erläutern, oder zumindest auf deren Namen hinweisen, könntest. Danke Im Voraus und lg |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Montag, den 16. Juli, 2001 - 08:07: |
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Mal ganz praktisch gesprochen, was machst du, wenn die Aufgabe lautet: Gegeben ist die Funktion f : D-->R mit f(x) :=...; zeigen Sie, dass f(x) > 0 (auf diese Form laesst sich ja jede Abschaetzung der Art |g(x)|<M bringen) fŸr alle x in D. Da geht es also um Abschaetzen, und das ist bekanntlich eine Kunst.Vielleicht kommt man auch zum Ziel, wenn man das Minimum von f bestimmt, auf diese Weise kann man viele Ungleichungen der Analysis beweisen. Schau mal in eine Monografie Ÿber Ungleichungen, z.B. Mitrinovic. Die Fragestellung ist doch so allgemein, dass man nicht hoffen kann, ihr mit generellen Methoden beizukommen. Ebensogut koennte man etwa fragen: Mit welcher Methodik laesst sich generell eine Gleichung f(x)=0 loesen ? Die Menge der denkbaren f ist eben doch zu umfangreich und vielfaeltig. Hoffentlich beeintraechtigt dies nicht deine Begeisterung fŸr die Mathematik. mfG Hans |
Xell
| Veröffentlicht am Montag, den 16. Juli, 2001 - 23:11: |
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Hi Hans, Die Ungleichung (a+b)^n > a^n+b^n; a,b,n E IN u. > 0; n > 1 würde ich beweisen durch die Abschätzung (a+b)^n > a^n+b^n+Z, wobei Z der zweite Summand im Binom ist. Dieser ist mit Sicherheit > 0 (kann man ja mit dem Binomialkoeff. zeigen). Aus (a+b)^n > a^n+b^n+Z > a^n+b^n => (a+b)^n > a^n+b^n, für n>1 Dies war zwar ein sehr einfaches Beispiel, aber habe ich das, was du mit "abschätzen" meintest, so recht verstanden? Danke schonmal für deine Rückmeldung. Wie kommst du darauf, dass ich mich für Mathe beigeistere? :-) lg |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juli, 2001 - 08:06: |
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Guten Morgen Xell : Ja, das ist natŸrlich ein sehr einfaches Beispiel. Man verkleinert einfach die linke Seite durch Weglassen aller positiven Zwischenterme. So leicht kommt man natŸrlich i.A. nicht davon. Versuche mal folgendes : FŸr positive reelle Zahlen a,b,c mit a+b+c=1 gilt (1 + 1/a)(1 + 1/b)(1 + 1/c) >= 64. Have fun mfG Hans |
HansMayer
| Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juli, 2001 - 11:41: |
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Wie löst man das denn bitte??? Anders formuliert: Wie beweißt man, daß (1 + 1/a)(1 + 1/b)(1 + 1/c) für a=b=c=1/3 minimal wird? Läuft die Aufgabe darauf hinaus, das Minimum einer Funktion von drei Variablen zu finden (bzw ist es eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung: Was ist das Minimum der Funktion f(a,b,c) = (1 + 1/a)(1 + 1/b)(1 + 1/c) unter der Nebenbedingung, daß a+b+c = 1)? Oder gibt es einen leichteren Ansatz, den ich übersehe? MfG Hans |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juli, 2001 - 18:49: |
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Hallo : Ja, man kann das natŸrlich als Minimumaufgabe in 3 Variablen mit Nebenbedingung betrachten, aber warum schweres GeschŸtz auffahren, wenn's auch elementar geht ! Alles was man hier braucht ist die AM-GM Ungleichung : FŸr positive u,v,w gilt [(u+v+w)/3]^3 >= uvw mit Gleichheit g.d.w. u=v=w, und etwas Phantasie! Viel Spass Hans |
Xell
| Veröffentlicht am Freitag, den 20. Juli, 2001 - 09:56: |
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Hi Hans, Momentan nehme ich einen Ferienjob wahr, der mich völlig einnimmt und komme daher nicht zur Beantwortung. Will sagen: Die Aufgabe ist nicht vergessen, die Lösung lässt nur vielleicht noch etwas auf sich warten. lg |
HansMayer
| Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 12:41: |
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Hallo, ich möchte verhindern, daß dieses Posting in Vergessenheit gerät und bitte deshalb Xell und Hans (Birdsong) darum, sich noch einmal zu melden, damit die Aufgabe einen Abschluß findet. MfG Hans |
Xell
| Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 15:37: |
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Hi HansMayer und Hans(Birdsong), Ich muss eingestehen, dass mir bisher kein Argument einge- fallen ist, mit dem ich die Aufgabe lösen konnte. Vielleicht könntest du, Birdsong, das übernehmen ? Würde mich nämlich schon interessieren, was da rauskommt. Ich hab auch schon einen Freund aus meinem Mathe-LK dazu gefragt und auch er konnte nix durchschlagendes finden. Zugegeben, ich konnte immerhin schon nach kurzer Zeit zeigen, dass im Falle von a = 1/3 und b > 1/3 und c < 1/3, die Ungleichung stimmt, mehr aber leider nicht. :-( Danke im Voraus für Klärung lg, Xell |
Xell
| Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 15:42: |
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Noch eine Anmerkung zu Hans' Bemerkung: Ja, man kann das natŸrlich als Minimumaufgabe in 3 Variablen mit Nebenbedingung betrachten, aber warum schweres GeschŸtz auffahren, wenn's auch elementar geht ! Alles was man hier braucht ist die AM-GM Ungleichung : FŸr positive u,v,w gilt [(u+v+w)/3]^3 >= uvw mit Gleichheit g.d.w. u=v=w, und etwas Phantasie! Tja, bisher dachte ich, dass ich Fantasie hätte und hab auch vor, Mathe zu studieren. Da motiviert mich das natürlich nicht grad. :-( lg von mir |
Xaver
| Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 18:10: |
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An Xell: Probier Dich mal an folgendem Problem: bestimme (x , y , z , u) |
Carmichael (Carmichael)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 20:15: |
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HI, ich hab die Aufgabe schonmal gemacht. Die ist einfacher zu lösen, wenn man zusätzlich folgende AM-HM Ungleichung kennt: (u+v+w)/3 >= 3 / ( 1/u + 1/v + 1/w ) ; u,v,w E IR+; soll nur so ne kleine Hilfe sein. MfG |
HansMayer
| Veröffentlicht am Montag, den 27. August, 2001 - 11:03: |
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Hi Carmichael, wenn Du die Lösung zu der Aufgabe kennst, kannst Du sie dann bitte hier ins Forum stellen? Es gibt bestimmt genug Besucher, die es interessieren würde. MfG Hans P.S.: Ich kann den Lösungsweg nicht hinschreiben, weil ich bei der Aufgabe einen echten Hänger habe. Ist wahrscheinlich im Prinzip ganz leicht, aber leider komme ich nicht drauf! |
Xell
| Veröffentlicht am Montag, den 27. August, 2001 - 13:58: |
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Hi, Ich probier mal einen Ansatz: (1+1/a)*(1+1/b)*(1+1/c) >= 64 ; a,b,c > 0 aus IR, a+b+c = 1 (1+1/a+1/b+1/(a*b))*(1+1/c) >= 64 (1+1/(ac)+1/(bc)+1/(abc)+1/c+1/a+1/b+1/(ab)) >= 64 ([1/a+1/b+1/c]+1+1/(ac)+1/(bc)+1/(abc)+1/(ab)) >= 64 => (10/9+1/(ac)+1/(bc)+1/(ab)+1/(abc)) >= 64 Hiermit habe ich die Hilfsungleichung benutzt. Bringt mich das weiter ? lg, Xell |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Montag, den 27. August, 2001 - 14:57: |
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Hallo : Mein Beweis geht so: Nach Ausmultiplizieren der linken Seite (L.S.) ergibt sich L.S. = 1+{1/a+1/b+1/c}+{1/bc+1/ca+1/ab}+1/abc. Wegen der Nebenbedingung ist die 2. Klammer = 1/abc, also L.S. = 1 + {1/a+1/b+1/c} + 2/abc. Wegen der Nebenbedingung und AH/GM ist abc =< 27 ==> 2/abc >= 54 und (1/a+1/b+1/c)^3>= 27/abc >= 27^2 ==> 1/a+1/b+1/c >= 9. Bemerkung: Die Aufgabe selbst stammt nicht von mir, ich habe sie aber mal in naheliegender Weise verallgemeinert und finde : FŸr positive Zahlen a_1,...,a_n mit a_1+...+a_n = s gilt die Ungleichung (1+1/a_1)*(1+1/a_2)*...*(1+1/a_n) >= (1+n/s)^n mit Gleichheit genau im Fall a_1=...=a_n=s/n. Anleitung zum Beweis : Induktion bzgl. n unter Benutzung der Hilfsfunktion h(x):=[1+n/(s-x)]^n*(1+1/x) ; 0 < x < s mfg Hans |
Carmichael (Carmichael)
| Veröffentlicht am Montag, den 27. August, 2001 - 20:40: |
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Hi! Die Verallgemeinerung ist recht schön und lässt sich auch mit Hilfe von AM-GM-HM zeigen. AM-GM-HM-Ungleichung (aritmetisches mittel, geometrisches mittel, harmonisches mittel )allgemein: (x_1+....+x_n)/n >= nSQR(x_1*....*x_n) >= n/(1/x_1 + .... + 1/x_n); (nSQR(y) sei die n-te Wurzel aus y) wegen GM-HM: (1+1/a_1)*(1+1/a_2)*...*(1+1/a_n) >= [ n / ( 1/(1+1/a_1) + .... + 1/(1+1/a_n) ) ] ^n = = [n/(a_1/(a_1+1) + .... + a_n/(a_n+1))] ^n = [n/( 1 - 1/(a_1+1) + ....+ 1 - 1/(a_n+1))]^n = = [n / (n - ( 1/(a_1+1) + .... + 1/(a_n+1) ) )]^n nun wenden wir AM-HM noch auf 1/(a_1+1) + .... + 1/(a_n+1) an und erhalten: .... >= [n/ (n - (n^2/(n+a_1+....+a_n)) )]^n = = [1 / ( 1 - n/(n+s) )]^n = [(n+s)/n]^n = [1+s/n]^n ; fertig :-) und wer davon nicht genug bekommen kann, kann ja die hier noch lösen: bc/(b+c) + ca/(c+a) + ab/(a+b) <= 1/2(a+b+c); oder auch die hier: a^2 + b^2 + c^2 >= ab+bc+ac; MfG Carmichael |
Martin
| Veröffentlicht am Dienstag, den 28. August, 2001 - 09:00: |
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Hilfe! Wie soll man die denn lösen??? Martin |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 28. August, 2001 - 15:48: |
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Hallo : (1) Aus bc =< [(b+c)/2] etc. folgt sofort bc/(b+c) + ca/(c+a) + ab/(a+b) =< (a+b+c)/2 mit " = " g.d.w. a=b=c. (2) Folgt unmittelbar aus (b-c)^2 + (c-a)^2 + (a-b)^2 >= 0. mfg Hans |
Carmichael (Carmichael)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 28. August, 2001 - 17:13: |
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HI, Hans: bei (1) hast du dich wohl verschrieben; das muss sqr(bc) =< [(b+c)/2] heißen bzw. bc/(b+c) <= (b+c)/4. (2) lässt sich auch mit Cauchy-Schwarz zeigen. Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung: seien u,v Vektoren im IR^n, dann gilt: |u|*|v| >= <u,v> wobei <u,v> das Skalarprodukt von u und v sei. ohne Vektoren formuliert sieht die Ungleichung so aus: sqr[(x_1^2+...+x_n^2)(y_1^2+....+y_n^2)] >= x_1*y_1 + .... + x_n*y_n; mit x_1,...,y_n reel-positiv Wer will kann mit dieser Ungleichung die AM-HM Ungleichung zeigen, oder auch AM-HM gleich direkt zeigen(Tip: x/y + y/x >=2;) und hier noch eine harte für Hans a/sqr(a^2+8bc) + b/sqr(b^2+8ac) + c/sqr(c^2+8ab) >= 1; mit a,b,c reel-positiv MfG |
Martin
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. August, 2001 - 12:26: |
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Kann die Lösung dieser Ungleichung bitte auch ins Forum gestellt werden? Martin. |
Martin
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. August, 2001 - 10:52: |
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Hallo, seid ihr noch da??? |
Carmichael (Carmichael)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. August, 2001 - 16:44: |
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ja wir leben noch :-) versuch doch selber mal etwas rumzuprobieren, brauchst eh nur die AM GM HM etwas rumzukombinieren, so schwer ist die auch nicht, wenn es auch ne IMO Aufgabe war. zur Übung: 1/(b+c-a)+1/(c+a-b)+1/(b+a-c) >= 9/(a+b+c) mit AM-HM lösen. |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Freitag, den 31. August, 2001 - 07:05: |
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Hallo : Die Loesung der IMO - Aufgabe kann man nachlesen bei http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln012.html |
Martin
| Veröffentlicht am Freitag, den 31. August, 2001 - 11:03: |
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Über die Ungleichung a/Ö(a2+8bc) + b/Ö(b2+8ac) + c/Ö(c2+8ab) ³ 1 kann ich überhaupt nicht mehr nachdenken, seitdem ich weiß, daß die mal bei einer IMO gestellt wurde. Die bekomme ich sowieso nicht raus... Martin |
Martin
| Veröffentlicht am Freitag, den 31. August, 2001 - 11:22: |
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Hallo nochmal, auf der von Hans angegebenen Seite wird die Ungleichung mithilfe von Cauchy-Schwarz gelöst. Carmichael hat aber, sofern ich das richtig verstanden habe, angedeutet, daß auch eine Lösung mit den AM-GM-HM-Ungleichungen möglich wäre. Könntest Du deine Andeutungen vielleicht noch ein wenig vertiefen? Martin P.S.: Der Link von Hans funktioniert übrigens nicht, weil er nicht vollständig ist. In aller Funktionsfähigkeit lautet er: http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln012.html. |
Carmichael (Carmichael)
| Veröffentlicht am Freitag, den 31. August, 2001 - 15:36: |
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HI, sorry, ich hatte mich getäuscht. Ich dachte die wäre auch mit am-gm-hm lösbar.. |
Georg
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 10:17: |
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Hallo, ich habe eure Beiträge gelesen. Da steht, daß man die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem harmonischen Mittel mit Hilfe der Ungleichung von Cauchy-Schwarz beweisen kann. Wie soll das gehen? Da kommen doch Wurzeln bzw. Quadrate von Zahlen vor. Was setzt man für xi bzw für yi? Und was bringt mir der Tip y/x + x/y ³ 2 für einen direkten Beweis? Bin etwas verwirrt. Georg |
Carmichael (Carmichael)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 10:56: |
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Hallo, (a_1+....+a_n)/n >= n/(1/a_1 + .... + 1/a_n); AM-HM umformen: (2) (a_1+....+a_n)(1/a_1 + .... + 1/a_n) >= n^2; mit Cauchy-Schwarz: setze x_i = sqr(a_i) und y_i = 1/sqr(a_i). direkt: multipliziere (2) aus... AM-HM lässt sich leicht zeigen, da es ne relativ schwache Ungleichung ist. |
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