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Berechnung limes...

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Astrid Lindner (Wonne)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 15:25:   Beitrag drucken

Ich weiß nicht wie ich es anfangen soll...

Sei fz = e iz - e -iz/2i und z = a+ib

Man berechne lim b->0 |f(z)| ,
lim b->oo |f(z)| und
limb-> -oo |f(z).
Wobei a fixiert ist.

Gesucht ist ein z0 mit f(z0) = 2 .

Man zeige f(a) = sin(a).
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 21:40:   Beitrag drucken

Hi Astrid,

Zuerst soll die Gleichung sin z = 2 gelöst werden .
Wir schreiben diese Gleichung mittels e-Potenzen mit
komplexen Exponenten so :
e ^ (iz) - e^ (-iz) = 4 i
Wir substituieren e ^ (i z) = u und erhalten eine
quadratische Gleichung in u , in welcher der
Koeffizient von u rein imaginär ist.
Die Gleichung lautet:
u ^ 2 - 4 i * u - 1 = 0
Die Lösungen lauten
u1 = 2 * i + wurzel(-3) = i * [2 + wurzel (3) ]
u2 = 2 * i - wurzel(-3) = i * [2 - wurzel (3) ]
Macht man die Substitution rückgängig, indem man
u1 = e^(i * z1)
setzt und sofort logarithmiert (zur Basis e ), so kommt:
i * z1 = ln {i * [2 + wurzel(3)]
Wir schreiben den Logarithmus rechts als Summe und erhalten:
i * z1 = ln i + ln [2 + wurzel(3)]
Schreibe für ln i = ½ * Pi * i und dividiere beide Seiten mit i;
es kommt:

z1 = ½ * Pi - i * ln [2 + wurzel(3) ]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Analog die andere Hauptlösung:

z2 = ½ * Pi - i * ln [2 - wurzel(3) ]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
wie im Reellen gilt:
z1 + z2 = Pi


Beachte: wegen der Periodizität der Sinusfunktion
-auch im Komplexen- können wir zu obigen Hauptlösungen
noch beliebige ganzzahlige Vielfache von 2*Pi addieren

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 06:50:   Beitrag drucken

Hi Astrid,

Zu Deiner letzten Frage:
Ersetzt man in der bekannten Eulerschen Relation
e ^ ( i z ) = cos z + i * sin z ..............................................(1)
z durch (- z) , so entsteht::
e ^ ( - i z ) = cos z - i * sin z...............................................(2)
Durch Subtraktion der Gleichungen (1) und (2)
erhalten wir:
2* i * sin z = e ^ ( i z ) - e ^ ( - i z ) ,
woraus die Behauptung folgt.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.

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