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Astrid Lindner (Wonne)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 15:25: |
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Ich weiß nicht wie ich es anfangen soll... Sei fz = e iz - e -iz/2i und z = a+ib Man berechne lim b->0 |f(z)| , lim b->oo |f(z)| und limb-> -oo |f(z). Wobei a fixiert ist. Gesucht ist ein z0 mit f(z0) = 2 . Man zeige f(a) = sin(a). |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 21:40: |
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Hi Astrid, Zuerst soll die Gleichung sin z = 2 gelöst werden . Wir schreiben diese Gleichung mittels e-Potenzen mit komplexen Exponenten so : e ^ (iz) - e^ (-iz) = 4 i Wir substituieren e ^ (i z) = u und erhalten eine quadratische Gleichung in u , in welcher der Koeffizient von u rein imaginär ist. Die Gleichung lautet: u ^ 2 - 4 i * u - 1 = 0 Die Lösungen lauten u1 = 2 * i + wurzel(-3) = i * [2 + wurzel (3) ] u2 = 2 * i - wurzel(-3) = i * [2 - wurzel (3) ] Macht man die Substitution rückgängig, indem man u1 = e^(i * z1) setzt und sofort logarithmiert (zur Basis e ), so kommt: i * z1 = ln {i * [2 + wurzel(3)] Wir schreiben den Logarithmus rechts als Summe und erhalten: i * z1 = ln i + ln [2 + wurzel(3)] Schreibe für ln i = ½ * Pi * i und dividiere beide Seiten mit i; es kommt: z1 = ½ * Pi - i * ln [2 + wurzel(3) ] °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Analog die andere Hauptlösung: z2 = ½ * Pi - i * ln [2 - wurzel(3) ] °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° wie im Reellen gilt: z1 + z2 = Pi Beachte: wegen der Periodizität der Sinusfunktion -auch im Komplexen- können wir zu obigen Hauptlösungen noch beliebige ganzzahlige Vielfache von 2*Pi addieren Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 06:50: |
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Hi Astrid, Zu Deiner letzten Frage: Ersetzt man in der bekannten Eulerschen Relation e ^ ( i z ) = cos z + i * sin z ..............................................(1) z durch (- z) , so entsteht:: e ^ ( - i z ) = cos z - i * sin z...............................................(2) Durch Subtraktion der Gleichungen (1) und (2) erhalten wir: 2* i * sin z = e ^ ( i z ) - e ^ ( - i z ) , woraus die Behauptung folgt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
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