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Beitrag |
    
Martina
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 14:11: | 
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Wie konstruiere ich ein regelmäßiges Zehneck mit Lineakante und Zirkel.
Danke |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 16:24: |
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Hi Martina,
Um Deine Fragen beantworten zu können ,
müssen wir etwas weiter ausholen.
1.
Da das reguläre Fünfeck und Zehneck von Teilungen
nach dem goldenen Schnitt wimmelt, ist es angebracht ,
Konstruktionen und Berechnungen dieser Teilung
gründlich zu repetieren.
Du findest im Board genug Stoff darüber.
Hier nur soviel:
Der Punkt T teilt die Strecke AB nach dem goldenen Schnitt,
wenn gilt:
TB : AT = AT : AB
AT ist der grössere Abschnitt (Major), TB der kleinere (Minor)
Sei AB = a , AT = x , also TB = a - x , so erhält man x aus der
Gleichung:
(a - x) : x = x : a , d h aus
x ^ 2 + a * x - a ^ 2 = 0
Lösungen
x = ½ * [ wurzel(5) + 1 ] * a = t * a für den Major.
Für den Minor gilt dann
a - x = ½ * [ wurzel(5) - 1 ] * a = s * a
Es gelten die Beziehungen t - s = 1 , s * t = 1.
2.
Als Vorstudie lese man die Artikel zum Satz des Eudoxos
über die Beziehung zwischen den Seitenlängen eines regulären
Fünfecks, Sechsecks und Zehnecks in einem festen Kreis.
Die Ausführungen findest Du im Archiv unter dem Stichwort
"Eudoxus" ; sie stammen vom 31.Juli / 1.August 2000.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 17:35: |
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Hi Martina,
Fortsetzung in homöopathischen Dosen
A] Die Diagonalen des regulären Fünfecks
Skizziere von freier Hand ein regelmässiges Fünfeck
mit Umkreis k , Mittelpunkt M , als Schaufigur.
Die Ecken A,B,C D E folgen einander im
Gegenuhrzeigersinn auf k.
Zeichne die fünf Diagonalen ein, nämlich:
AC , AD , BD, BF und CE.
F sei der Schnittpunkt der Diagonalen AD und BF
Nun betrachten wir die gleichschenkligen Dreiecke
BFA und ACD.
Der Winkel an den Spitzen B bezw. A ist je 36° als
Peripheriewinkel über dem Bogen einer Fünfeckseite ,
zu welchem der Zentriwinkel 360°/5 = 72° gehört..
Die Dreiecke sind somit ähnlich mit (B,A) , (F,C), (A.D)
als entsprechende Eckenpaare; mithin gilt die Proportion:
AC : CD = AB : AF oder
d5 : s5 = s5 : (d5 - s5)...........................................................(1)
Wenn mit s5 die Seite und mit d5 die Diagonale im
regelmässigen Fünfeck bezeichnet werden.
Es gilt somit der bemerkenswerte Satz:
Die Diagonale des Fünfecks wird durch die Fünfeckseite
nach dem goldenen Schnitt geteilt
Dabei ist die Fünfeckseite s5 der Major.
B] Die Seite s10 des regulären Zehnecks.
In der vorhergehenden Skizze fällen wir vom Mittelpunkt M
des Umkreises k des regulären Zehnecks die Senkrechte auf die
Seite CD des Fünfecks . Dieses Lot schneidet k im Punkt G ,
dem Mittelpunkt des Bogen von C nach D.
Die Strecke CG ist eine Seite s10 des regulären Zehnecks mit k
als Umkreis.
Ziel: Berechnung von s10 aus dem Radius r des Umkreises k
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Das Dreieck MCG ist ein gleichschenkliges Dreieck mit dem
Winkel 36° bei der Spitze M (Zentriwinkel 360°/10 über dem
genannten Bogen CG) .
Die Dreiecke ACD und MCG sind ähnlich, daraus folgt:
AC : CD = MC : CG oder
d5 : s5 = r : s10.
In Worten:
Der Radius wird durch die Zehneckseite im gleichen Verhältnis
geteilt wie die Fünfeckdiagonale durch die Fünfeckseite,
d.h .nach dem goldenen Schnitt.
Schluss:
r : s10 = s10 : (r - s10) , das heisst:
Die Seite des regelmässigen Zehnecks teilt den Radius
des Umkreises nach dem goldenen Schnitt ;
dabei ist die Zehneckseite der grössere Abschnitt.
Rechnerisch: s10 = ½ * [ wurzel(5) - 1 ] * r.
Damit lässt sich das regelmässige Zehneck bequem aus seinem
Umkreis k konstruieren.
Man braucht bloss einen Radius AM nach dem g.S. zu teilen
und den grösseren Abschnitt mit dem Zirkel von A aus zehnmal
abtragen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juli, 2001 - 20:02: |
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Hallo lieber megamath!
Ich muß am Dienstag eine Matheklausur schreiben, und da wird vermutlich nach der Begründung gefragt, warum der Radius von der zehnecksseite nach dem Goldenen Schnitt geteilt wird. Reicht es einfach nur wenn ich schreibe auf grund von ähnlichen Dreiecken oder gibt es da noch einen besseren Beweis für?
Gruß Miriam |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Juli, 2001 - 10:36: |
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Hi Miriam ,
Meines Wissens gibt es keine einfachere
Herleitungsmöglichkeit bei der Berechnung der
Zehneckseite aus dem Umkreisradius.
Merke Dir die ähnlichen Dreiecke !
Es sind gleichschenklige Dreiecke mit dem Winkel 36 °
an der Spitze und den Basiswinkeln von je 72° .
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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