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Funktion auf Intervall differenzierbar

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Mel
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Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 11:01:   Beitrag drucken

Hi.

Die Funktion f sei auf einem Intervall I diefferenzierbar mit f'(x)=f(x).

Zeigen Sie, dass f(x)=c*e^x ist mit einer geeigneten Konstanten c.

Ich bräuchte hierbei Unterstützung.

Danke, Mel
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Moni
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Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 10:32:   Beitrag drucken

Hallo.

Ich muß diese Aufgabe lösen, weiß aber nicht wie.
Wäre vielleicht jemand so nett uns zu helfen?

Danke.
Gruß, Moni
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Ingo (Ingo)
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Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 13:21:   Beitrag drucken

Probiere es mal mit dem Ansatz f(x)=g(x)ex. Ableiten und gleich f(x) setzen,dann hast Du die Lösung.
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Peter
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Veröffentlicht am Montag, den 02. Juli, 2001 - 10:57:   Beitrag drucken

Ingo solltest du zeit haben , wäre es supernett ,wenn du das mal vorrechnen kannst
aber jeder andere der helfen kann darf auch
Ich brauch dringend noch Punkte sonst wird das nix mit dem schein
schöne Grüße
Peter
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Ingo (Ingo)
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Veröffentlicht am Montag, den 02. Juli, 2001 - 16:42:   Beitrag drucken

okay. Die Gleichung lautet ja f'(x)=f(x)

Jede beliebige Funktion läßt sich als Produkt der Funktion ex mit einer anderen reelen Funktion darstellen. Nennen wir sie g(x).Dann gilt f(x)=exg(x). Da f differenzierbar ist,ist auch g differenzierbar und für die Ableitung von f gilt nach der Produktregel :

f'(x)=g(x)ex+g'(x)ex

Da f(x)=g(x)ex gilt deshalb

f'(x)=f(x)+g'(x)ex

Hieraus folgt nun unmittelbar 0=g'(x)ex und wegen ex>0 somit g'(x)=0,also g(x)=C.

Folglich ist f(x)=Cex die einzige Lösungsfunktionsschar.
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Reiner
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Veröffentlicht am Montag, den 02. Juli, 2001 - 17:08:   Beitrag drucken

Also Peter, ich will dir ja nicht zu nahe treten, bevor Ingo den Hinweis mit dem Ansatz nicht aufgeschrieben hat, habe ich hier auch nichts geblickt, aber wenn du es jetzt immer noch nicht kannst, kannst du dir den sonstwohin stecken, wenn es an so was scheitern sollte.
Allein der Schein hilft dir doch auch nicht weiter, es muss doch auch Fähigkeit da sein.

Ich habe nie eine Vorlesung für Mathematiker besucht, was jetzt kommt, ist Schulstoff:

f(x)=g(x)ex, ableiten nach Produktregel

=> f '(x) = g'(x)ex + g(x)ex

nach Voraussetzung gilt: f'(x)=f(x)

=> g(x)ex = g'(x)ex + g(x)ex

=> 0 = g'(x)ex | * e-x
=> 0 = g'(x)
=> g(x) = c

zurück in Ansatz f(x)=g(x)ex ergibt
f(x) = c*ex

Würd mich freuen, wenn du's inzwischen auch selber rausgekriegt hättest.

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