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Beitrag |
    
blue_shadow (B_S)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 19:16: | 
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Hello Freunde,
Aufgabe:
Eulersche Gammafunktion:
T(x) := integral von 0 bis unendlich ( EXP(-t)*t^(x-1) ) dt
zu zeigen:
T besitzt Ableitungen beliebiger Ordnung und es gilt :
(n)
T (x) = integral von 0 bis unendlich ( (log (t))^n * EXP(-t)*t^(x-1) )dt
(..also n-te Ableitung von T ist damit gemeint. ....)
Wie kommt man denn auf das vorgegebene Ergenbis?
Vielen Dank,
blue_shadow |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 23:09: |
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Hi blue shadow ,
Wir stellen zuerst die Grundlagen bereit, mit denen
wir Deine Aufgabe bequem lösen können.
1.
Wenn eine Funktion f = f(x , p) ausser von der Variablen x
noch von einem Parameter p abhängig ist , so ist das bestimmte
Integral ( Grenzen a bis b )
int [f(x , p) * dx] eine Funktion F = F(p) des Parameters p.
Zur Ermittlung der Ableitung F ' (p) darf man unter dem Integral
ableiten, wenn gewisse Bedingungen erfüllt sind.
Diese Bedingungen lauten:
f (x,p) muss für alle Wertepaare a < = x < = b und c < = p < = d
stetig sein und für diese Paare muss ausserdem die partielle Ableitung
von f (x , p) nach p existieren und stetig sein
Der Satz lässt sich (cum grano salis) auch auf uneigentliche Integrale
ausdehnen.
2.
Die Ableitung der Exponentialfunktion t ^ x nach x lautet:
t ^ x * ln t.
Wir wenden das Gesagte auf die Gammafunktion G(x) an:
(untere Grenze der Integrale je 0, obere Grenze je unendlich)
G(x) = int [e^(-t) * t ^ (x-1) * dx ] , ableiten nach x führt auf :
G ' (x) = int [e^(-t) * t ^ (x-1) * ln t * dt ].
Für die höheren Ableitungen ergeben sich keine Probleme.
Du findest leicht das Schlussresultat selbst.
Und zum Schluss noch dies:
Vor kurzem haben wir im Board die Digammafunktion Psi(z)
kennengelernt bei der Berechnung eines "fürchterlichen" Integrals.
Diese Funktion ist so definiert:
Psi(z) = G ' (z) / G (z)
Mit Maple berechneten wir Psi(1 ) = - g
( g : Eulersche Konstante gamma )
Wenn wir g als Integral darstellen in der Gestalt:
g = - int [ e^(-t )* ln t * dt ], so kommt
Psi(1) = G '(1) / G (1) = - g , da G(1) bekanntlich 1 ist.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
blue_shadow (B_S)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 09:24: |
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Vielen Dank H.R. Moser,megamath :-)
Gruss,
blue_shadow |
Xell
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 20:46: |
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Ganz am Rande, megamath., Grüße schreibt man mit scharfem
S. "Außerhalb" genauso, "außer" auch.
Siehe www.duden.de.
Viele Grüße |
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