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Beitrag |
    
Christoph (Gregor_2)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 22:06: | 
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Die Funktion arctan x ist eine spezielle Stammfunktion von 1/(1+x²). Aus dieres Tatsache leite man die Potenzreihe von arctan x (um x0=0) her! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 07:21: |
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Hi Christoph,
Für x absolut kleiner als eins
entwickeln wir f(x)= 1 / (1 + x ^2 ) in eine
geometrische Reihe ( Quotient q = - x ^2 ) und
integrieren gliedweise; es entsteht auf legale Art:
f(x) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 +..
F(x) = arc tan x + C =
x - 1/3 * x ^ 3 +1/5 *x ^ 5 - 1/7* x ^ 7 +1/9 * x ^ 9 -......
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die Integrationskonstante ist null wegen der
Normierung arc tan (0) = 0.
Die Reihe konvergiert ausser für das angegebene x-Intervall
auch noch für x = 1 und x = - 1 , wie eine nähere Untersuchung
zeigt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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