| Autor |
Beitrag |
    
Katrin (Katrin1980)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 13:41: | 
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Hallo Ihr Könner!
Ich bin Blond und stehe mal wieder vor größeren Problemen! Bisher konnte mir nieman die richtige Vorgehensweise erklären!
1a.) Es wird eine Hypozykloide in Parameterdarsetllung betrachtet:
x(t)=(R-r)cos t+ r cos(R-r/r)t
y(t)=(r-r)sin t- r sin(R-r/r)t,
wobei r, R >0 mit R=3r. Berechne die Länge des Bogens.
1b.) Eine Lemniskate ist in Polarkoordinaten durch
r=a*sqrt(cos(2fi)) für -PI/4=<fi=<PI/4 und 3/4PI=<fi=<5/4PI gegeben, wobei a element |R mit a>0 ist. Berechne den Flächeninhalt. Zeige, daß die Lemniskate in karthesischen Koordinaten durch
(x²+y²)²=a²(x²-y²) gegeben ist.
2.) Bestimme den Radius und den Mittelpunkt des Krümmungskreises in Abhängigkeit von t (Evolute) der Ellipse x=a cost, y=b sint, 0=<t=<2PI, (a>0, b>0). Gib die Evolute in Parameterdarstellung bzgl. t an, wie auch durch eine Gleichung der Form F(Xi,Eta) =0.
3.) Berechne die Evolute der Zykloide x=t-sint, y=1-cost, t element |R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 17:56: |
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Hi Katrin,
Von Deinen Aufgaben gefällt mir die letzte am besten
Daher wollen wir diese zuerst in Angriff nehmen.
Die detaillierte Herleitung der Koordinaten Xi und Eta des
Krümmungszentrums Z habe ich in den Anhang verbannt.
Die Parameterdarstellung der gegebenen Zykloide lautet ,
wie angegeben :
x = t - sin t , y = 1 - cos t
Als Resultat, das wir auch interpretieren werden,ergibt sich
folgendes:
x-Koordinate von Z : Xi = t + sin t,
y-Koordinate von Z : Eta = - (1 - cos t ) = - y (!)
Ersetzen wir darin den Parameter t gemäss der Gleichung
t = Pi + s durch den neuen Parameter s , so kommt
Xi = Pi + s + sin ( Pi + s) = Pi + s - sin s
Also :
Xi - Pi = s - sin s , ferner wird
Eta = - 1 + cos ( Pi + s) = - 1 - cos s,
also :
Eta + 2 = 1 - cos s
Rechts stehen bei den neuen Gleichungen für Xi und Eta genau
die jeweiligen rechten Seiten der Ausgangsgleichungen , nur steht
jetzt der Parameter s statt t da..
Dies bedeutet ,wenn man auch die linken Seiten der beiden
Gleichungen betrachtet, dass die Evolute der Zykloide eine
kongruente Zykloide ist, die um den Betrag Pi in der Richtung
der positiven x-Achse und um den Betrag 2 in Richtung der
negativen y-Achse verschoben ist.
Herleitung des obigen Resultates
Für rechtwinklige Koordinaten gilt für die Kurve y = y(x)
bekanntlich:
Xi = x - [y'(1 + y ' ^2) ] / y ''.................................................(I)
Eta = y + [1 + y ' ^ 2 ] / y ''
Liegt die Kurve in Parameterform vor so gilt :
Xi = x - (y° * v ) / u ---------------------------------------------(II)
Eta = y + (x° * v ) / u , wobei
u = x° * y°° - x°° * y° und v = x° ^ 2 + y° ^ 2 ist.
° bedeutet dabei die erste Ableitung nach dem Parameter t
°° die zweite Ableitung nach t
In unserem Fall kommt:
x° = 1 - cos t , y° = sint , x°° = sin t , y °° = cos t
u = - (1 - cos t ) , v = 2 * ( 1 - cos t )
somit
Xi = t -sin t + sin t * [ 2* (1-cos t)]/(1-cost) = t + sin t
wie wir eingangs erwähnten
Ebenso einfach ist es nun, Eta zu berechnen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 20:16: |
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Hi Katrin,
Jetzt kommt die Lemniskate zum Zug.
Wir leiten zuerst aus ihrer Polarkoordinatendarstellung
(mit r und phi) die Gleichung in rechtwinkligen Koordinaten
(in x und y) her; dabei werden wir benützen :
r^2 = x ^ 2 + y ^ 2
x = r * cos (phi) , y = r * sin (phi) ,
ferner die Doppelwinkelformel der Kosinusfunktion
cos ( 2 * phi) = { cos (phi ) } ^ 2 - { sin (phi ) } ^ 2
Jetzt kann's losgehen !
Durch Quadrieren entsteht :
r ^ 2 = a^2 * cos ( 2 * phi )
= a^2 * [ { cos (phi) }^ 2 - { sin (phi ) }^ 2 ]
= a ^2 * [ x^2 / r^2 - y^2 / r^2 ] oder:
r ^ 4 = a ^ 2 * ( x ^ 2 - y ^ 2 ), mithin:
( x ^ 2 + y ^ 2 ) ^ 2 = a^2 * ( x ^ 2 - y ^ 2 ) , w.z.b.w.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 21:31: |
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Hi Katrin,
Das Flächenelement dA zur Berechnung der Fläche A
einer durch Polarkoordinaten dargestellten Kurve
ist "bekanntlich"
dA = ½ *R^2 * d(phi) .
Dies wenden wir auf die Lemniskate an und bekommen
für die Fläche A einer Schleife
A = ½ * a ^ 2 int [ cos (2*phi) * d(phi) ,
untere Grenze - ¼ *Pi , obere Grenze ¼ *Pi;
da das unbestimmte Integral ½ sin ( 2* phi ) ist,
erhalten wir für A:
A = ¼ * a^2 * 2 = 1 /2 * a^2
Die gesuchte Gesamtfläche ist gerade a^2
Zur Aufgabe über die Ellipse sei das Resultat
vorweggenommen
Die Evolute der Ellipse
b^2 * x^2 + a^2 * y^2 = a^2 * b^2 (a>b) ist die Astroide
[ Xi / a1] ^ (2/3) + [ Eta / b1 ] ^ (2/3) = 1 . wobei
a1 = e^2 / a , b1 = e^2 / b mit e^ 2 = a ^ 2 - b ^2 gilt.
(e ist die lineare Exzentrizität der Ellipse)
Die Astroide hat vier Spitzen, welche zu je
zweien auf den Koordinatenachsen liegen und die
Krümmungszentren der vier Scheitel der Ellipse sind.
Die zugehörigen Krümmungsradien sind b^2 / a und a^2 / b
Das zur ersten Orientierung
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
Mit freundlichen Grüssen |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juni, 2001 - 14:03: |
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Hi Katrin,
Die Astroide als Evolute der Ellipse
Wir ermitteln die Gleichung der Evolute der Ellipse
aus der Parameterdarstellung
x = a cos t , y = b sin t mit a > b
Mir benötigen im Laufe der Rechnung die Beziehung
a ^ 2 - b ^ 2 = e ^2 ( e: lineare Exzentrizität der Ellipse )
Wir brauchen die ersten und zweiten Ableitungen nach t
( Bezeichnungen mit ° und °° )
x° = - a sin t , y ° = b cos t ,
x°° = - a cos t , y °° = - b sin t , ferner die Ausdrücke
u = x° y°° - x°° y° = a * b
v = x° ^ 2 + y ° ^ 2 = a ^ 2 * sin^2 t + b ^ 2 * cos^2 t =
a^2 * sin^2t + (a^2 - e^2 )* cos^2 t = a ^ 2 - e ^ 2 * cos^2 t .
Nun berechnen wir mit den bekannten Formeln die
Koordinaten Xi und Eta des Krümmungsmittelpunktes
der Ellipse:
Xi = x - y° * v / u =
= a* cos t - [ b* cos t * ( a ^ 2 -e ^ 2* cos^2 t ) ] / (a * b),
stark vereinfacht:
Xi = e^2 * ( cos t ) ^ 3 / a.......................................................(A)
Eta = y + x° * v / u
= b * sin t - [ a * sin t * ( a^2 - e ^ 2*cos^2 t)] / (a*b)
stark vereinfacht unter Benützung von
(cos t) ^ 2 = 1 - (sin t) ^ 2 und e^2 = a^2 - b^2:
Eta = - e^2 * ( sin t ) ^ 3 / b ...................................................( B)
Die Gleichungen (A) und (B) geben eine Parameterdarstellung
der gesuchten Evolute, ebenfalls mit t als Parameter .
Um den Parameter zu eliminieren , lösen wir (A) nach cos t
und (B) nach sin t auf , quadrieren und addieren
(Ergebnis :rechts steht eine Eins)
Es entsteht die Koordinatengleichung der Evolute ,
welche als Astroide erkannt wird :
[a * Xi / e ^ 2] ^ (2/3) + [ b* Eta / e ^2 ] ^ (2/3) = 1
So weit !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 10:41: |
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Hi Katrin ,
Es bleibt uns noch die Aufgabe, die Bogenlänge der
von Dir vorgelegten gemeinen Hypozykloide
zu berechnen
Wir gehen aus von der Parameterdarstellung
x = 2 r cos t + r cos 2t............................................(I)
y = 2 r sin t - r sin 2t.
in dem wir die Vorgabe R = 3r bereits verwendet haben.
Es ist bemerkenswert, dass hier eines der wenigen Beispiele
vorliegt, bei denen die Quadratwurzel in der Formel für die
Bogenlänge formal gezogen werden kann.
Dazu benötigen wir allerdings einige Formeln aus der
Goniometrie, nämlich:
(1) Additionstheorem der Kosinusfunktion
cos (u + v ) = cos u * cos v - sin u * sin v
(2) Halbwinkelformel der Sinusfunktion
2* [ sin (u/2 ) ] ^ 2 = 1 - cos u
Herleitung der Bogenlänge
Aus den beiden Parametergleichungen berechnen wir die
Differentiale dx , d y :
dx = { - 2 r * sin t - 2 r * sin 2t } * dt
dy = { 2 r * cos t - 2 r * cos 2 t } * dt
Wir quadrieren und addieren und erhalten ds^2 , das Quadrat des Bogenelementes:
(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 =
4 * r^2 * [(sin t)^2 +2*sin t * sin 2t + (sin 2t)^2 + (cos t)^2
- 2 cost * cos 2t + (cos 2t)^2 ] * (dt)^2
Mit Hilfe der goniometrischen Formeln (1) und (2) folgt:
( ds ) ^ 2 = 4* r^2 * { 2 - 2 * cos{t + 2t) } * (dt)^2
= 8* r^2 * { 1 - cos (3t) } * (dt)^2
Schliesslich:
(ds)^2 = 16 * r^2 * [sin(3 t / 2 ) ] ^2; die Wurzel kann gezogen werden
Es kommt:
ds = 4 r * sin ( 3 t / 2 ).
Um die Bogenlänge B selbst zu erhalten, muss über dieses
Bogenelement integriert werden,
Setzen wir dabei die untere Grenze des Integrals 0 und die obere Grenze
2 * Pi, so erhalten wir mit B den dritten Teil des Gesamtbogens :
Wir berechnen zuerst das unbestimmte Integral J durch
die Substitution
3 * t / 2 = z , dt = 2 / 3 * dz ; also
J = int [sin( 3* t / 2) * dt } = 2 / 3 * int [ sin z * dz ] = - 2/3 cos z
= -2/3 * cos ( 3 * t / 2)
Nimmt man den Faktor 4*r dazu und setzt die Grenzen 0 und 2* Pi
ein ,so kommt
B = 8 * r /3 * [1 - cos(3*Pi) ] = 16 * r / 3
Die gesamte Bogenlänge ist somit
B total = 16 * r
°°°°°°°°°°°°°°°
Anmerkung meinerseits nach vollbrachter Tat
Es ist durchaus erlaubt , Fragen zu stellen oder sonstwie eine
Reaktion zu zeigen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Markus M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2007 - 14:37: |
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Hi Hab ein kleines Problem bei den Evoluten!
Gegeben sei ein Kreis mit Radius 4a an dem ein Kreis mit Radius a gleit frei innen abgerollt wird. Welche Kurve beschreibt ein fester Punkt am Rand des inneren Kreises?
Wäre super wenn mir wer zeigen könnte wie man dieses Beispiel rechnet ich weiß das es Karo sein muss!
Mfg Markus |
Giant
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Januar, 2008 - 08:18: |
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