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DGL 1. Ordnung

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Mineraloge
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Juni, 2001 - 11:44:   Beitrag drucken

Hallo! Kann mir jemand die Lösung der DGL geben? Wenn möglich mit Lösungsweg.
y'(x)[x²+2]+2xy(x)= e^(x/2)

Danke Mineraloge
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Montag, den 11. Juni, 2001 - 13:18:   Beitrag drucken

Hi Mineraloge

Wir lösen die homogene Gleichung
y ' ( x ^ 2 + 1) + 2 x y = 0
durch Trennung der Variablen; es entsteht:
dy / y = - 2 x / ( x^2 + 2 )
Integration beider Seiten mit c als Integrationskonstante:
ln y = - ln (x^2 + 2 ) + ln c ; zusammengefasst:
ln y = ln [c / ( x^2 + 2 )] , also
y = c / ( x ^2 + 2 ) ; dies ist die allgemeine Lösung der
homogenen Gleichung.

Um die Lösung der inhomogenen Gleichung zu finden,
wählen wir die Methode der Variation der Konstanten
c = c(x) ist eine zu bestimmende Funktion in x.
Wir leiten y = c(x) / (x^2 + 2 ) mit der Quotientenregel nach x ab.:
y ' = [(x^2+2) * c' - 2 c x ] / (x^2+2)^2
Dies setzen wir in die gegebene Dgl. ein, und wir erhalten nach
gehörigen Vereinfachungen :
c ' (x) = e ^ ( x / 2 ), somit c(x) = 2 * e^ (x / 2 ) + k
k ist eine Integrationskonstante.
Somit erhalten wir durch Einsetzen von c(x) die allgemeine Lösung
Der gegebenen Dgl.:
y = [2 e ^ (x / 2) + k ] / (x ^ 2 + 2 )
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Gut Stein !

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.

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