| Autor |
Beitrag |
    
Oliver Gerber (Olivergerber)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 13:23: | 
|
Ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich nicht so recht weiterkomme:
Beweisen Sie, dass es Zahlen a,b element [0,1] gibt mit
integral von 0 bis 1 über sin(pi*x)/(x^2+1)dx = 2/pi*(a^2+1) = pi/4*sin(pi*b).
Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen ... |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 15:16: |
|
Hi Oliver
Wir lösen Deine Aufgabe souverän mit Hilfe des sogenannten
erweiterten ersten Mittelwertsatzes
der Integralrechnung, der da lautet:
Wenn im Integral int [f(x) * g(x) * dx] ,
untere Grenze a, obere Grenze b
der Faktor g ( x ) sein Vorzeichen nicht wechselt,
so gilt:
im Intervall [a,b] existiert mindestens eine Zahl c so, dass
int [f(x) * g(x) * dx] = f ( c ) * int [ g(x) * dx ],Grenzen wie vorhin.
1)
Wir wählen f(x) = 1 / ( 1 + x ^ 2 ) und erhalten
für das angegebene Integral J :
J = 1 / (1 + c^2) * int [sin (Pi*x) * dx ] = 1 / (1+ c^2) * 2 / Pi ,
wie behauptet.
2)
Wir wählen f(x) = sin (Pi * x ) und erhalten für J :
J = sin(Pi*c) * int [1 / (1+x^2) * dx ] = sin (Pi * c ) * arc tan 1 =
= sin ( Pi * c ) * Pi / 4.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath,. |
|
