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Fourierreihe

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chris
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Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 17:16:   Beitrag drucken

Hallo Leute könnt ihr mir Helfen
Bestimmen sie die Fourierreihe von f(x)=x, x Element aus [-1,1), Periode 2
Danke
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 21:50:   Beitrag drucken

Hi chris ,

Mit T bezeichnen wir die Periode ,mit L die Halbperiode,
Für das Beispiel gilt T = 2 , L = 1.
Wir wollen f(x) = x im Intervall -1 < x < 1 in eine
Fourier-Reihe entwickeln.
Die Produkte x * cos (k*x) sind ungerade Funktionen von x,
daher sind alle Koeffizienten ak null.
Die Produkte x* sin(k*x) sind hingegen gerade Funktionen
und daher setzen wir in den Integralen zur Berechnung der
Koeffizienten bk die untere Grenze 0 statt -1,die obere bleibt 1.
Ausserdem erhält das neue Integral den Faktor 2.

Somit kommt:
bk = 1 / L * int [ x * sin {( k * Pi *x ) / L }* dx ] =
int [x * sin ( k*Pi*x ) * dx ],untere Grenze -1 , obere Grenze 1-
Wegen der Vorbemerkungen gilt:
bk = 2 * int [x * sin ( k * Pi * x ) * dx],untere Grenze 0 ,obere Grenze 1.

Mit partieller Integration erhalten wir:
bk = 2* [- x * 1 / (k*Pi) * cos(k* Pi * x)
+ 1 / (k*Pi) * int [cos ( k * Pi * x ) * dx ] , Grenzen 0 bis 1.
Das Integral ganz rechts ist null für alle k.
Es bleibt:
bk = 2 * 1 / k* ( -1 ) ^ ( k -1 ).
Somit lautet die gesuchte Entwicklung;
2 * [sin (Pi * x) / 1 - sin( 2*Pi * x) / 2 + ..+(-1)^(k-1) * sin(k* Pi * x) / k +........)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
= x für -1 < x < 1 und = 0 für x = 1 und x = -


Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.

.

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