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chris
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 17:16: |
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Hallo Leute könnt ihr mir Helfen Bestimmen sie die Fourierreihe von f(x)=x, x Element aus [-1,1), Periode 2 Danke |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 21:50: |
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Hi chris , Mit T bezeichnen wir die Periode ,mit L die Halbperiode, Für das Beispiel gilt T = 2 , L = 1. Wir wollen f(x) = x im Intervall -1 < x < 1 in eine Fourier-Reihe entwickeln. Die Produkte x * cos (k*x) sind ungerade Funktionen von x, daher sind alle Koeffizienten ak null. Die Produkte x* sin(k*x) sind hingegen gerade Funktionen und daher setzen wir in den Integralen zur Berechnung der Koeffizienten bk die untere Grenze 0 statt -1,die obere bleibt 1. Ausserdem erhält das neue Integral den Faktor 2. Somit kommt: bk = 1 / L * int [ x * sin {( k * Pi *x ) / L }* dx ] = int [x * sin ( k*Pi*x ) * dx ],untere Grenze -1 , obere Grenze 1- Wegen der Vorbemerkungen gilt: bk = 2 * int [x * sin ( k * Pi * x ) * dx],untere Grenze 0 ,obere Grenze 1. Mit partieller Integration erhalten wir: bk = 2* [- x * 1 / (k*Pi) * cos(k* Pi * x) + 1 / (k*Pi) * int [cos ( k * Pi * x ) * dx ] , Grenzen 0 bis 1. Das Integral ganz rechts ist null für alle k. Es bleibt: bk = 2 * 1 / k* ( -1 ) ^ ( k -1 ). Somit lautet die gesuchte Entwicklung; 2 * [sin (Pi * x) / 1 - sin( 2*Pi * x) / 2 + ..+(-1)^(k-1) * sin(k* Pi * x) / k +........) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° = x für -1 < x < 1 und = 0 für x = 1 und x = - Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. . |
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