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Astrid Lindner (Wonne)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 08:17: | 
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Hallo zusammen...
Ich weiß nicht so recht wie weiter...
-man stelle die Taylorreihe für y= arctan x auf
-aus einer Formelsammlung entnimmt man folgende
Relation
arctan x + arctan y =arctan x+y/1-xy xy >1
-daraus gewinnt man pi/4 = 4 arctan 1/5 -
arctan 1/239
-man berechne pi auf 4 Stellen genau
danke für eure Bemühungen...Wonne |
Astrid Lindner (Wonne)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 12:44: |
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Hat schon jemand mal einen Blick drauf geworfen...? Wonne |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 14:06: |
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Hallo :
Wir gehen aus von
arctan(x) = int(0..x)[1/(1+t^2)]dt
und von der geometrischen Reihe
sum(k=0..n-1)[(-1)^k*t^(2k)]=
=[1-(-t^2)^n)]^/(1+t^2) ==>
1/(1+t^2) = sum(k=0..n-1)[(-1)^k*t^(2k) +
+ (-t^2)^n/(1+t^2).
Integriere dies von 0 bis x:
arctan(x) =
= sum(k=0..n-1)[1/(2k+1)*(-1)^k*x^(2k+1) + R(n)
wobei R(n) = (-1)^n*int(0..x)[t^2k/(1+t^2)].
Wegen 1+t^2 >= 1 ist der Integrand =< t^2, also
|R(n)| =< |int(0..x)t^2 dt| = |x|^(2n+1)/(2n+1)
FŸr |x|=<1 strebt dies gegen 0, wenn n-->oo.
Daher gilt fŸr |x| =< 1 :
arctan(x) = sum(k=0..oo)[1/(2k+1)*(-1)^k*t^(2k+1).
Das ist die gwŸnschte arctan-Reihe.
Gruss
Hans |
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