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Satz von Wilson

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Roy
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Mai, 2001 - 10:16:   Beitrag drucken

Hi!

Kann mir bitte jemand bei der Beweisführung helfen?

Eine natürliche Zahl p>=2 ist genau dann eine Primzahl, wenn

(p-1)! = -1 (mod p)

Danke,
Roy
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Mai, 2001 - 14:22:   Beitrag drucken

Hi Roy,

Zum Satz von Wilson

Hier ein kurzer Beweis zur Umkehrung des Satzes
ist p eine natürliche Zahl und ( p - 1)! + 1 durch p teilbar,
so ist p eine Primzahl.

Beweis indirekt:

Annahme :p enthalte einen Primteiler q < p;
dann ist (p -1)! durch q teilbar,
Somit kann (p-1)! + 1 nicht durch q ,also auch nicht
durch p teilbar sein, entgegen der Annahme.

Der Beweis des Satzes in der anderen Richtung ist
etwas weitläufiger.
Am besten suchst Du einen solchen
in Lehrbüchern der Algebra oder der Zahlentheorie.

Anmerkung
In einer Enzyklopädie der Mathematik lese ich zum Thema
die folgenden Zeilen:
"Die erste Erwähnung dieses Satzes findet sich in Warings
Meditationes algebraicae, deren erste Auflage 1770 erschien.
<Hanc maxime elegantem numerorum primorum proprietatem
invenit vir clarisimus,rerumque mathematicarum peritissimus
Ioannes Wilson Armiger>
(Uebersetzung: diese äusserst elegante Eigenschaft der
Primzahlen fand Ioannes Wilson Armiger,ein sehr berühmter
und in Sachen Mathematik bestens erfahrener Mann )
Dieser Ioannes Wilson Armiger ist ohne Zweifel identisch
mit Sir John Wilson, der 1741 - 1793 lebte."

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Mai, 2001 - 15:47:   Beitrag drucken

Hi Roy,

In der vorhin von mir erwähnten Enzyklopädie
steht ein Beweis des Wilsonschen Satzes, der
einigermassen verständlich sein sollte.

Das Kongruenzzeichen (drei Querstriche) werde
zu Ehren von Sir John durch das Zeichen £ ersetzt.

Ausgangspunkt für den Beweis ist der in einem
andern Zusammenhang bewiesene Hilfssatz:

Sind a und b teilerfremde natürliche Zahlen,
so hat die Kongruenz
a * y £ c ( mod b )
eine und nur eine Lösung y aus der Reihe der Zahlen
0 , 1 , 2 , ....., b - 1.
Nehmen wir den Modul b als ungerade Primzahl p an ,
so folgt aus diesem Satz als Spezialfall:

Ist a eine durch p nicht teilbare Zahl, so gibt es immer
eine Zahl a ' aus der Reihe der Zahlen
1 , 2 , ...., p - 1 ,
die der Kongruenz
a* a' £ 1 ( mod p ) genügt.

Diese Zahl a ' ist dann und nur dann gleich a,
wenn a £ 1 oder a £ - 1 (oder, was dasselbe ist £ p - 1 )
modulo p ist
Denn setzen wir a ' = a so ist a * a ' - 1 = a^2 - 1
= ( a - 1 ) * ( a + 1) nur dann durch p teilbar, wenn entweder
a - 1 oder a + 1 durch p teilbar ist.

Die Zahlen 2 , 3 , ....p - 2 zerfallen daher in ½*(p-3) Paare
von Zahlen a, a' , deren Produkt mit 1 kongruent ist,
und das Produkt der beiden übrigen, 1*(p-1) , ist mit - 1
kongruent.
Folglich ist das Produkt
1*2*3*...*(p-1) £ -1 (modulo p),
was auch für p = 2 richtig ist, weil
+ 1 £ -1 ( modulo 2 ) ist.
In Worten:
Ist p eine Primzahl ,so ist die Zahl ( p - 1 ) ! + 1 durch p teilbar.

Ende des Beweises .

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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roy
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Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 12:56:   Beitrag drucken

Hallo Herr Moser!

Vielen Dank für die ausführliche Lösung. Wäre noch nett, wenn sie mir den Titel der Enzyklopädie nennen könnten.

Tschüss,
Roy
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 19:15:   Beitrag drucken

Hi Roi,

Gerne gebe ich Dir den Titel der erwähnten Enzyklopädie
aus dem B.G. Teubner Verlag , Leipzig, bekannt.
Die Bücher ( drei Bände , Jahrgang 1905 ) sind im Handel
sicher nicht mehr erhältlich ,vielleicht findet man sie noch in
Zentralbibliotheken.

Ich schätze diese Bücher heute noch sehr ;sie sind neben
anderen Werken meine ständigen Begleiter auf den Pfaden der
Mathematik.

Ich zitiere aus einem Prospekt der damaligen Zeit:
"Weber,H., und J.Wellstein,Professoren an der Universität
Strassburg,
Encyklopädie der Elementarmathematik.
Ein Handbuch für Lehrer und Studierende .In 3 Bänden.
I.Band. Elementare Algebra und Analysis.1903.
In Leinw.geb.n.M.8.-
II.Band. Elemente der Geometrie. Bearbeitet von H.Weber,
J.Wellstein und W.Jakobsthal.1905.
In Leinw.geb.n.M.12.-
Band III. Anwendung der Elementarmathematik. [Unter der Presse] "

Nun der dritte Band ist längst erschienen !

Ich zitiere aus der Vorrede von H.Weber zur ersten Auflage von Bd.I

"......Die mathematisch Produktion hat etwas von künstlerischer
Tätigkeit an sich, und zwar nicht bloss die eigentliche schöpferische
Tätigkeit, sondern auch die Produktion im kleinen, die sich in der
Lösung von Aufgaben oder auch nur beim genauen Verstehen
mathematischer Gedankenfolgen zeigt. Sie kann durch ihre
Anschaulichkeit den Geist vollständig gefangen nehmen,
und ist dem dafür Organisierten eine Quelle reichsten Genusses.
Und dies gilt nicht minder von der abstrakten Anschauung im
Reiche der Zahlen,als von den Raumanschauungen der Geometrie.

Es ist mir daher auch nicht zweifelhaft, dass für einen im höchsten
Sinn erfolgreichen mathematischen Unterricht eine gewisse spezifische
Begabung erforderlich ist, womit nicht bestritten werden soll, dass es
sehr wohl möglich und für die logische Zucht des Denkens notwendig
ist, einem jeden normal begabten Schüler ein mathematisches Wissen
und Verstehen in gewissem Umfang zu gewähren, die ihm bei jedem
künftigen Studium von Nutzen sind.

.............Noch heute,nach bald 50 Jahren, gedenke ich mit Dankbarkeit
meines Lehrers am Heidelberger Lyzeum und der Anregung und Förderung,
die mir sein Unterricht gewährte.........
..............Die Mathematik hatte in jener Zeit an den süddeutschen Gymnasien
im Unterrichtsplan eine untergeordneter Stellung und geringes Ansehen
bei den übrigen Lehrern und bei der Mehrzahl der Schüler.
Eine nachhaltige Einwirkung war daher nur bei dem kleinen Kreis der
mthematisch veranlagten Schüler möglich.
Das ist jetzt überall besser geworden, und dass ein Schüler ohne jedes Verständnis
durch die mathematischen Lehrstunden geht und schliesslich
doch als reif entlassen wird, kommt jetzt wohl kaum noch vor.
..................
Ende des Zitats und meiner Antwort!

Mit freundlichen Grüssen
H,R,Moser,megamath.

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