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Roy
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Mai, 2001 - 10:16: |
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Hi! Kann mir bitte jemand bei der Beweisführung helfen? Eine natürliche Zahl p>=2 ist genau dann eine Primzahl, wenn (p-1)! = -1 (mod p) Danke, Roy |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Mai, 2001 - 14:22: |
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Hi Roy, Zum Satz von Wilson Hier ein kurzer Beweis zur Umkehrung des Satzes ist p eine natürliche Zahl und ( p - 1)! + 1 durch p teilbar, so ist p eine Primzahl. Beweis indirekt: Annahme :p enthalte einen Primteiler q < p; dann ist (p -1)! durch q teilbar, Somit kann (p-1)! + 1 nicht durch q ,also auch nicht durch p teilbar sein, entgegen der Annahme. Der Beweis des Satzes in der anderen Richtung ist etwas weitläufiger. Am besten suchst Du einen solchen in Lehrbüchern der Algebra oder der Zahlentheorie. Anmerkung In einer Enzyklopädie der Mathematik lese ich zum Thema die folgenden Zeilen: "Die erste Erwähnung dieses Satzes findet sich in Warings Meditationes algebraicae, deren erste Auflage 1770 erschien. <Hanc maxime elegantem numerorum primorum proprietatem invenit vir clarisimus,rerumque mathematicarum peritissimus Ioannes Wilson Armiger> (Uebersetzung: diese äusserst elegante Eigenschaft der Primzahlen fand Ioannes Wilson Armiger,ein sehr berühmter und in Sachen Mathematik bestens erfahrener Mann ) Dieser Ioannes Wilson Armiger ist ohne Zweifel identisch mit Sir John Wilson, der 1741 - 1793 lebte." Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Mai, 2001 - 15:47: |
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Hi Roy, In der vorhin von mir erwähnten Enzyklopädie steht ein Beweis des Wilsonschen Satzes, der einigermassen verständlich sein sollte. Das Kongruenzzeichen (drei Querstriche) werde zu Ehren von Sir John durch das Zeichen £ ersetzt. Ausgangspunkt für den Beweis ist der in einem andern Zusammenhang bewiesene Hilfssatz: Sind a und b teilerfremde natürliche Zahlen, so hat die Kongruenz a * y £ c ( mod b ) eine und nur eine Lösung y aus der Reihe der Zahlen 0 , 1 , 2 , ....., b - 1. Nehmen wir den Modul b als ungerade Primzahl p an , so folgt aus diesem Satz als Spezialfall: Ist a eine durch p nicht teilbare Zahl, so gibt es immer eine Zahl a ' aus der Reihe der Zahlen 1 , 2 , ...., p - 1 , die der Kongruenz a* a' £ 1 ( mod p ) genügt. Diese Zahl a ' ist dann und nur dann gleich a, wenn a £ 1 oder a £ - 1 (oder, was dasselbe ist £ p - 1 ) modulo p ist Denn setzen wir a ' = a so ist a * a ' - 1 = a^2 - 1 = ( a - 1 ) * ( a + 1) nur dann durch p teilbar, wenn entweder a - 1 oder a + 1 durch p teilbar ist. Die Zahlen 2 , 3 , ....p - 2 zerfallen daher in ½*(p-3) Paare von Zahlen a, a' , deren Produkt mit 1 kongruent ist, und das Produkt der beiden übrigen, 1*(p-1) , ist mit - 1 kongruent. Folglich ist das Produkt 1*2*3*...*(p-1) £ -1 (modulo p), was auch für p = 2 richtig ist, weil + 1 £ -1 ( modulo 2 ) ist. In Worten: Ist p eine Primzahl ,so ist die Zahl ( p - 1 ) ! + 1 durch p teilbar. Ende des Beweises . Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
roy
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 12:56: |
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Hallo Herr Moser! Vielen Dank für die ausführliche Lösung. Wäre noch nett, wenn sie mir den Titel der Enzyklopädie nennen könnten. Tschüss, Roy |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 19:15: |
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Hi Roi, Gerne gebe ich Dir den Titel der erwähnten Enzyklopädie aus dem B.G. Teubner Verlag , Leipzig, bekannt. Die Bücher ( drei Bände , Jahrgang 1905 ) sind im Handel sicher nicht mehr erhältlich ,vielleicht findet man sie noch in Zentralbibliotheken. Ich schätze diese Bücher heute noch sehr ;sie sind neben anderen Werken meine ständigen Begleiter auf den Pfaden der Mathematik. Ich zitiere aus einem Prospekt der damaligen Zeit: "Weber,H., und J.Wellstein,Professoren an der Universität Strassburg, Encyklopädie der Elementarmathematik. Ein Handbuch für Lehrer und Studierende .In 3 Bänden. I.Band. Elementare Algebra und Analysis.1903. In Leinw.geb.n.M.8.- II.Band. Elemente der Geometrie. Bearbeitet von H.Weber, J.Wellstein und W.Jakobsthal.1905. In Leinw.geb.n.M.12.- Band III. Anwendung der Elementarmathematik. [Unter der Presse] " Nun der dritte Band ist längst erschienen ! Ich zitiere aus der Vorrede von H.Weber zur ersten Auflage von Bd.I "......Die mathematisch Produktion hat etwas von künstlerischer Tätigkeit an sich, und zwar nicht bloss die eigentliche schöpferische Tätigkeit, sondern auch die Produktion im kleinen, die sich in der Lösung von Aufgaben oder auch nur beim genauen Verstehen mathematischer Gedankenfolgen zeigt. Sie kann durch ihre Anschaulichkeit den Geist vollständig gefangen nehmen, und ist dem dafür Organisierten eine Quelle reichsten Genusses. Und dies gilt nicht minder von der abstrakten Anschauung im Reiche der Zahlen,als von den Raumanschauungen der Geometrie. Es ist mir daher auch nicht zweifelhaft, dass für einen im höchsten Sinn erfolgreichen mathematischen Unterricht eine gewisse spezifische Begabung erforderlich ist, womit nicht bestritten werden soll, dass es sehr wohl möglich und für die logische Zucht des Denkens notwendig ist, einem jeden normal begabten Schüler ein mathematisches Wissen und Verstehen in gewissem Umfang zu gewähren, die ihm bei jedem künftigen Studium von Nutzen sind. .............Noch heute,nach bald 50 Jahren, gedenke ich mit Dankbarkeit meines Lehrers am Heidelberger Lyzeum und der Anregung und Förderung, die mir sein Unterricht gewährte......... ..............Die Mathematik hatte in jener Zeit an den süddeutschen Gymnasien im Unterrichtsplan eine untergeordneter Stellung und geringes Ansehen bei den übrigen Lehrern und bei der Mehrzahl der Schüler. Eine nachhaltige Einwirkung war daher nur bei dem kleinen Kreis der mthematisch veranlagten Schüler möglich. Das ist jetzt überall besser geworden, und dass ein Schüler ohne jedes Verständnis durch die mathematischen Lehrstunden geht und schliesslich doch als reif entlassen wird, kommt jetzt wohl kaum noch vor. .................. Ende des Zitats und meiner Antwort! Mit freundlichen Grüssen H,R,Moser,megamath. |
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