| Autor |
Beitrag |
    
Karo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Mai, 2001 - 20:35: | 
|
Hi, für folgende Aufgabe bräuchte ich die Lösung:
Man zeige, dass es unendlich viele Tangentialebenen an das Paraboloid P:={(x,y,z); z = x^2 + y^2} gibt, die durch den Punkt (1,0,0) gehen.
Man bestimme ihre Berührpunkte und zeige, dass sie in einer Ebene liegen. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Mai, 2001 - 11:31: |
|
Hi Karo
Durch Polarisation der Gleichung des Paraboloides
erhalten wir die Gleichung der Polarebene E
zum Punkt P1 ( x1 / y1 /z1 ) als Pol.
Auf dieser Polarebene E liegen die Berührungspunkte
aller Tangentialebenen ,die durch den Pol P1 gehen
Wir leiten die Gleichung von E aus der Flächengleichung her,
indem wir x^2 durch x1* x , y^2 durch y1*y und z durch
½ * (z + z1 ) ersetzen, mithin:
Gleichung von E:
z + z1 = 2 * x 1 * x + 2 * y1 * y
Ersetzt man darin x1, y1. z1 durch die Koordinaten 1 , 0 , 0
des gegebenen Punktes ,so erhält man die Gleichung der gesuchten
Ebene, auf der alle Berührungspunkte der durch den Punkt
gelegten Tangentialebenen liegen.
Die Gleichung von E lautet:
z = 2 * x
°°°°°°°°°
Beispiele
1) Der Punkt B (1 / 1 / 2) liegt auf E und auf der Fläche,
kommt also als Berührungspunkt in Frage.
Aus der Polargleichung gewinnen wir die Gleichung
der Tangentialebene
T: z = 2 x + 2y -2
Die Ebene T geht durch den Punkt (1/0/0)
2) Dasselbe für B(1/ - 1 / 2)
Als Gleichung der Tangentialebene in B erhalten wir jetzt:
T: z = 2 x - 2 y - 2
Auch diese Ebene geht durch den Punkt (1 / 0 / 0 ) .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
|
