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Karo
| Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Mai, 2001 - 20:35: |
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Hi, für folgende Aufgabe bräuchte ich die Lösung: Man zeige, dass es unendlich viele Tangentialebenen an das Paraboloid P:={(x,y,z); z = x^2 + y^2} gibt, die durch den Punkt (1,0,0) gehen. Man bestimme ihre Berührpunkte und zeige, dass sie in einer Ebene liegen. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Mai, 2001 - 11:31: |
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Hi Karo Durch Polarisation der Gleichung des Paraboloides erhalten wir die Gleichung der Polarebene E zum Punkt P1 ( x1 / y1 /z1 ) als Pol. Auf dieser Polarebene E liegen die Berührungspunkte aller Tangentialebenen ,die durch den Pol P1 gehen Wir leiten die Gleichung von E aus der Flächengleichung her, indem wir x^2 durch x1* x , y^2 durch y1*y und z durch ½ * (z + z1 ) ersetzen, mithin: Gleichung von E: z + z1 = 2 * x 1 * x + 2 * y1 * y Ersetzt man darin x1, y1. z1 durch die Koordinaten 1 , 0 , 0 des gegebenen Punktes ,so erhält man die Gleichung der gesuchten Ebene, auf der alle Berührungspunkte der durch den Punkt gelegten Tangentialebenen liegen. Die Gleichung von E lautet: z = 2 * x °°°°°°°°° Beispiele 1) Der Punkt B (1 / 1 / 2) liegt auf E und auf der Fläche, kommt also als Berührungspunkt in Frage. Aus der Polargleichung gewinnen wir die Gleichung der Tangentialebene T: z = 2 x + 2y -2 Die Ebene T geht durch den Punkt (1/0/0) 2) Dasselbe für B(1/ - 1 / 2) Als Gleichung der Tangentialebene in B erhalten wir jetzt: T: z = 2 x - 2 y - 2 Auch diese Ebene geht durch den Punkt (1 / 0 / 0 ) . Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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