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Zyklische Gruppe

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DaSerge
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Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 08:15:   Beitrag drucken

Hallo,
bräuchte Hilfe bei folgendem Beweis:
Man beweise, dass sich eine unendliche zyklische Gruppe durch genau zwei verschiedene Elemente erzeugen läßt. Wie lautet die entsprechende Aussage für endliche zyklische Gruppen?
Serge
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holger
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Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 11:11:   Beitrag drucken

Hallo Serge:

sei die von c erzeugte zyklische Gruppe unendlich:
c^m

Dann sind alle ihre Elemente verschieden.

Für zwei Elemente gilt:
c^i*c^k = c^(i+k) allgemein: c^(x*i + y*k)

Sind jetzt i und k teilerfremd, dann ist die Gleichung 1 = x*i + y*k immer erfüllbar.
Das ist nämlich die Gleichung
GgT(i, k) = 1 = x*i + y*k (Löst man mit Euklidalgo.)

Vervielfacht man die Lösungen (x, y) für 1, so erhält man beliebige Vielfache von 1 und somit alle m.

-holger
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Carmichael (Carmichael)
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Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 13:37:   Beitrag drucken

erstmal zur Definition von zyklisch.
Eine Gruppe G ist zyklisch <=>
G=<S> und die Menge S enthält genau ein Element.
<S> ist wie folgt definiert:
<S> = {x1*x2*...*xn | x1,x2,...,xn E S U S^-1,n E IN }
enthält S nun genau ein Element d so gilt also:
<S> = {d^k | k E Z}, da ja S U S^-1 = {d,d^-1}
also:
G={d^k |k E Z} (mit d^0= d^1*d^-1 = e;)
sei nun a = d^r ein weiteres erzeugendes Element, so gibt es ein m, so dass (d^r)^m = d^(r+1) bzw.
d^(r*(m-1)-1) = e;
Ist nun |G| unendlich so ist ord(d) unendlich. Wenn also d^x = e, so muss x=0 sein bzw. es kann nur für d^0=e gelten.
also r*(m-1)-1 = 0;
=> r teilt 1^ganzzahlig
=> r = 1 oder r = -1
die erzeugenden sind also d und d^-1


bei endlichen Gruppen G hast du phi(|G|) erzeugende Elemente.
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holger
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Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 17:31:   Beitrag drucken

Was bedeutet denn E S U S und E I N
und S U S und so ???
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Carmichael (Carmichael)
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Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 17:35:   Beitrag drucken

Howdy holger,

E steht für "ist Element von"
U steht für "vereinigt"
S^-1 ist die Menge der inversen Elemente der Elemente der Menge S
IN steht für Menge der natürlichen Zahlen
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holger
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Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 17:41:   Beitrag drucken

Ach, das U steht für Vereinigungsmenge...
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holger
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Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 18:00:   Beitrag drucken

Also, wenn ich das richtig verstanden haben, sagts du, man könne die zyklische Gruppe "c^m" mit c und -c erzeugen.
Aber ist die Nennung von -c nicht eigentlich überflüssig, da die Inversen beim Erzeugen doch ohnehin "mitverwendet" werden? Sonst könnte man eine zyklische Gruppe nicht als Gruppe definieren, die von EINEM Element erzeugt wird.
Wenn du -c aber weglässt, hast du ja nur noch die Definition.
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Carmichael (Carmichael)
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Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 18:12:   Beitrag drucken

<S> = {x1*x2*...*xn | x1,x2,...,xn E S U S^-1,n E IN }

ist so definiert (eigentlich noch etwas abstrakter und zwar <S> = {U1!U2!...!Un|U1,..,Un Untergruppen und S E U1,...,Un}, läuft aber auf dasselbe raus!) [! bedeute hier "geschnitten" ]
und macht auch Sinn, gerade eben bei unendlichen Gruppen! Wenn du S^-1 weglässt, hättest du bespielsweise bei S bestehend aus genau einem Element a <S> = { a^k | k E IN{0}}. U
nd wenn die Ordnung von a unendlich ist kannst du a^-1 nicht durch a^k mit k E IN{0} ausdrücken.
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Carmichael (Carmichael)
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Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 18:18:   Beitrag drucken

am besten siehst den Sinn der Definition an (Z,+).
(Z,+) (also Menge der ganzen Zahlen) zyklisch, aber allein durch Verknüpfungen der 1 mit sich selbst kannst (Z,+) nicht erzeugen.
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holger
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Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 19:57:   Beitrag drucken

Aber das bestättig doch genau das, was ich geschrieben habe. Der Durschnitt aller Untermengen, die d enthalten, enthält immer auch d^-1, da jede Untergruppe mit d auch d^-1 enthalten muss. Die explizite Erwähnung von d^-1 ist also überflüssig.

Z wird also durch 1 erzeugt, da Z der Durchschnitt aller Untergruppen ist, die 1 enthalten.

Z wird aber auch, nach dem was ich gezeigt habe, durch zwei teilerfremde Zahlen erzeugt.

-holger
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Carmichael (Carmichael)
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Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 22:25:   Beitrag drucken

hm, mir ist immer noch nicht ganz klar, warum du hier daherbringst, dass Z(bzw.unendliche zyklische gruppe) durch a,b zusammen mit ggT(a,b)=1 erzeugt wird.
Das ist schon klar, aber gefragt sind doch hier alle Elemente, die JEWEILS Z erzeugen.
!!also streng nach REGEL: alle Element a E Z, so dass <{a}>=Z; !!
Und davon gibt es nun mal genau zwei, nämlich -1 und 1 (bzw. d und d^-1).
Die explizite Erwähnung von d^-1 ist keineswegs überflüssig!
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holger
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Veröffentlicht am Samstag, den 19. Mai, 2001 - 17:58:   Beitrag drucken

Ja, ok:
<{1}> = Z = <{-1}>

ich dachte, ich sollte 2 Elemente finden, für die das gilt:
<{a, b}> = Z

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