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DaSerge
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 08:15: |
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Hallo, bräuchte Hilfe bei folgendem Beweis: Man beweise, dass sich eine unendliche zyklische Gruppe durch genau zwei verschiedene Elemente erzeugen läßt. Wie lautet die entsprechende Aussage für endliche zyklische Gruppen? Serge |
holger
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 11:11: |
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Hallo Serge: sei die von c erzeugte zyklische Gruppe unendlich: c^m Dann sind alle ihre Elemente verschieden. Für zwei Elemente gilt: c^i*c^k = c^(i+k) allgemein: c^(x*i + y*k) Sind jetzt i und k teilerfremd, dann ist die Gleichung 1 = x*i + y*k immer erfüllbar. Das ist nämlich die Gleichung GgT(i, k) = 1 = x*i + y*k (Löst man mit Euklidalgo.) Vervielfacht man die Lösungen (x, y) für 1, so erhält man beliebige Vielfache von 1 und somit alle m. -holger |
Carmichael (Carmichael)
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 13:37: |
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erstmal zur Definition von zyklisch. Eine Gruppe G ist zyklisch <=> G=<S> und die Menge S enthält genau ein Element. <S> ist wie folgt definiert: <S> = {x1*x2*...*xn | x1,x2,...,xn E S U S^-1,n E IN } enthält S nun genau ein Element d so gilt also: <S> = {d^k | k E Z}, da ja S U S^-1 = {d,d^-1} also: G={d^k |k E Z} (mit d^0= d^1*d^-1 = e;) sei nun a = d^r ein weiteres erzeugendes Element, so gibt es ein m, so dass (d^r)^m = d^(r+1) bzw. d^(r*(m-1)-1) = e; Ist nun |G| unendlich so ist ord(d) unendlich. Wenn also d^x = e, so muss x=0 sein bzw. es kann nur für d^0=e gelten. also r*(m-1)-1 = 0; => r teilt 1^ganzzahlig => r = 1 oder r = -1 die erzeugenden sind also d und d^-1 bei endlichen Gruppen G hast du phi(|G|) erzeugende Elemente. |
holger
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 17:31: |
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Was bedeutet denn E S U S und E I N und S U S und so ??? |
Carmichael (Carmichael)
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 17:35: |
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Howdy holger, E steht für "ist Element von" U steht für "vereinigt" S^-1 ist die Menge der inversen Elemente der Elemente der Menge S IN steht für Menge der natürlichen Zahlen |
holger
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 17:41: |
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Ach, das U steht für Vereinigungsmenge... |
holger
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 18:00: |
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Also, wenn ich das richtig verstanden haben, sagts du, man könne die zyklische Gruppe "c^m" mit c und -c erzeugen. Aber ist die Nennung von -c nicht eigentlich überflüssig, da die Inversen beim Erzeugen doch ohnehin "mitverwendet" werden? Sonst könnte man eine zyklische Gruppe nicht als Gruppe definieren, die von EINEM Element erzeugt wird. Wenn du -c aber weglässt, hast du ja nur noch die Definition. |
Carmichael (Carmichael)
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 18:12: |
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<S> = {x1*x2*...*xn | x1,x2,...,xn E S U S^-1,n E IN } ist so definiert (eigentlich noch etwas abstrakter und zwar <S> = {U1!U2!...!Un|U1,..,Un Untergruppen und S E U1,...,Un}, läuft aber auf dasselbe raus!) [! bedeute hier "geschnitten" ] und macht auch Sinn, gerade eben bei unendlichen Gruppen! Wenn du S^-1 weglässt, hättest du bespielsweise bei S bestehend aus genau einem Element a <S> = { a^k | k E IN{0}}. U nd wenn die Ordnung von a unendlich ist kannst du a^-1 nicht durch a^k mit k E IN{0} ausdrücken. |
Carmichael (Carmichael)
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 18:18: |
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am besten siehst den Sinn der Definition an (Z,+). (Z,+) (also Menge der ganzen Zahlen) zyklisch, aber allein durch Verknüpfungen der 1 mit sich selbst kannst (Z,+) nicht erzeugen. |
holger
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 19:57: |
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Aber das bestättig doch genau das, was ich geschrieben habe. Der Durschnitt aller Untermengen, die d enthalten, enthält immer auch d^-1, da jede Untergruppe mit d auch d^-1 enthalten muss. Die explizite Erwähnung von d^-1 ist also überflüssig. Z wird also durch 1 erzeugt, da Z der Durchschnitt aller Untergruppen ist, die 1 enthalten. Z wird aber auch, nach dem was ich gezeigt habe, durch zwei teilerfremde Zahlen erzeugt. -holger |
Carmichael (Carmichael)
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 22:25: |
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hm, mir ist immer noch nicht ganz klar, warum du hier daherbringst, dass Z(bzw.unendliche zyklische gruppe) durch a,b zusammen mit ggT(a,b)=1 erzeugt wird. Das ist schon klar, aber gefragt sind doch hier alle Elemente, die JEWEILS Z erzeugen. !!also streng nach REGEL: alle Element a E Z, so dass <{a}>=Z; !! Und davon gibt es nun mal genau zwei, nämlich -1 und 1 (bzw. d und d^-1). Die explizite Erwähnung von d^-1 ist keineswegs überflüssig! |
holger
| Veröffentlicht am Samstag, den 19. Mai, 2001 - 17:58: |
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Ja, ok: <{1}> = Z = <{-1}> ich dachte, ich sollte 2 Elemente finden, für die das gilt: <{a, b}> = Z |
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