| Autor |
Beitrag |
    
anja
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 10:45: | 
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1.
Man gebe eine Orthonormalbasis im euklidischen Raum aller reellen Polynome hoechstens zweiten Grades bezuegich des Skalarproduktes
(p,q)=Integral von 0 bis 1/2 von (p(x)q(x)dx)
an!
2.
Der Vektor a element U stehe senkrecht auf der orthogonalen Projektion des Vektors b element V auf den Unterraum U des Euklidischen oder unitaeren Vektorraums V. Man zeige, daß auch a senkrecht auf b steht!
3.
Sei V ein Euklidischer Vektorraum und a_1,...,a_n element V. Die Matrix
[(a_1,a_1) (a_1,a_2) ... (a_1,a_n)]
[(a_2,a_1) (a_2,a_2) ... (a_2,a_n)]
[ . . . ]=G(a_1,...,a_n)
[ . . . ]
[(a_n,a_1) (a_n,a_2) ... (a_n,a_n)]
heißt Gramsche Matrix, ihre Determinante
g(a_1,...,a_n):= det G(a_1,...,a_n) Gramsche Determinante. Man beweise:
Sind a_1,...,a_n linear unabhaengig, so ist G(a_1,...,a_n) positiv definit.
Ich bin dankbar fuer jeden Hinweis!
Grueße! Anja |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 14:15: |
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1.) Da hab ich folgendes raus und nachgeprüft:
O={ wurzel(2) , -4*wurzel(12)*x + wurzel(12) , 24*wurzel(10)*x^2 - 12*wurzel(10)*x + wurzel(10) }
Lösungsweg:
Als erstes Element wähle eine Konstante a; diese muss erfüllen : Integral 0 bis 1/2 a*a dx = 1
das ergibt a=wurzel(2)
Als zweites Element wähle allgemein eine Funktion vom Grad 1, also a*x + b
Diese muss erfüllen:
[1]Integral von 0 bis 1/2 1*(a*x+b) dx =0
Daraus folgt a=-4b mit a und b nicht Null !
[2] Integral von 0 bis 1/2 (ax+b)*(a*x+b)=1
Daraus folgt1/(3a)*(1/2*a+b)^3=1 oder
(1/2*a+b)^3=3a; setze a=-4b ein; dann bekommst Du
-b^3=-12b; da b nicht Null sein kann (sonst wäre die zweite Funktion identisch Null) folgt b^2=12
Wir wählen b=+wurzel(12), dann ist a=-4*wurzel(12)
Als drittes Element eine Funktion zweiten Grades ax^2 + bx + c
Diese muss erfüllen
[1]Integral von 0 bis 1/2 1*(a*x^2+b*x+c) dx=0;
daraus folgt a+3b+12c=0 (1)
[2]Integral von 0 bis 1/2 (-4*wurzel(12)*x + wurzel(12))*(ax^2+bx+c) dx=0;
daraus folgt günstigerweise a+2b=0 oder a=-2b (2)
(2) in (1) liefert a=24c und b=-12c
[3]Integral von 0 bis 1/2 (ax^2+bx+c)^2 dx =
Integral von 0 bis 1/2 (a^2x^4 + b^2x^2 + c^2 + 2abx^3 + 2acx^2 + 2bcx) dx=1
Das liefert
a^2/160 + b^2/24 + c^2/2 + ab/32 + ac/12 +bc/4 = 1
oder 3a^2+20b^2+240c^2+15ab+40ac+120bc=480
Einsetzen von a=24c und b=-12c liefert dann
48c^2=480
c^2=10
Wir wählen c=+wurzel(10) und erhalten a=24*wurzel(10) und b=-12*wurzel(10)
ciao |
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