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anja
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 10:45: |
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1. Man gebe eine Orthonormalbasis im euklidischen Raum aller reellen Polynome hoechstens zweiten Grades bezuegich des Skalarproduktes (p,q)=Integral von 0 bis 1/2 von (p(x)q(x)dx) an! 2. Der Vektor a element U stehe senkrecht auf der orthogonalen Projektion des Vektors b element V auf den Unterraum U des Euklidischen oder unitaeren Vektorraums V. Man zeige, daß auch a senkrecht auf b steht! 3. Sei V ein Euklidischer Vektorraum und a_1,...,a_n element V. Die Matrix [(a_1,a_1) (a_1,a_2) ... (a_1,a_n)] [(a_2,a_1) (a_2,a_2) ... (a_2,a_n)] [ . . . ]=G(a_1,...,a_n) [ . . . ] [(a_n,a_1) (a_n,a_2) ... (a_n,a_n)] heißt Gramsche Matrix, ihre Determinante g(a_1,...,a_n):= det G(a_1,...,a_n) Gramsche Determinante. Man beweise: Sind a_1,...,a_n linear unabhaengig, so ist G(a_1,...,a_n) positiv definit. Ich bin dankbar fuer jeden Hinweis! Grueße! Anja |
lnexp
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 14:15: |
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1.) Da hab ich folgendes raus und nachgeprüft: O={ wurzel(2) , -4*wurzel(12)*x + wurzel(12) , 24*wurzel(10)*x^2 - 12*wurzel(10)*x + wurzel(10) } Lösungsweg: Als erstes Element wähle eine Konstante a; diese muss erfüllen : Integral 0 bis 1/2 a*a dx = 1 das ergibt a=wurzel(2) Als zweites Element wähle allgemein eine Funktion vom Grad 1, also a*x + b Diese muss erfüllen: [1]Integral von 0 bis 1/2 1*(a*x+b) dx =0 Daraus folgt a=-4b mit a und b nicht Null ! [2] Integral von 0 bis 1/2 (ax+b)*(a*x+b)=1 Daraus folgt1/(3a)*(1/2*a+b)^3=1 oder (1/2*a+b)^3=3a; setze a=-4b ein; dann bekommst Du -b^3=-12b; da b nicht Null sein kann (sonst wäre die zweite Funktion identisch Null) folgt b^2=12 Wir wählen b=+wurzel(12), dann ist a=-4*wurzel(12) Als drittes Element eine Funktion zweiten Grades ax^2 + bx + c Diese muss erfüllen [1]Integral von 0 bis 1/2 1*(a*x^2+b*x+c) dx=0; daraus folgt a+3b+12c=0 (1) [2]Integral von 0 bis 1/2 (-4*wurzel(12)*x + wurzel(12))*(ax^2+bx+c) dx=0; daraus folgt günstigerweise a+2b=0 oder a=-2b (2) (2) in (1) liefert a=24c und b=-12c [3]Integral von 0 bis 1/2 (ax^2+bx+c)^2 dx = Integral von 0 bis 1/2 (a^2x^4 + b^2x^2 + c^2 + 2abx^3 + 2acx^2 + 2bcx) dx=1 Das liefert a^2/160 + b^2/24 + c^2/2 + ab/32 + ac/12 +bc/4 = 1 oder 3a^2+20b^2+240c^2+15ab+40ac+120bc=480 Einsetzen von a=24c und b=-12c liefert dann 48c^2=480 c^2=10 Wir wählen c=+wurzel(10) und erhalten a=24*wurzel(10) und b=-12*wurzel(10) ciao |
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