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Lineare Algebra oder Statistik

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Valerie (valle)
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Neues Mitglied
Benutzername: valle

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 01. November, 2002 - 19:37:   Beitrag drucken

Hallo,
kann mir bitte jemand sagen wie man folgende Aufgabe lösen könnte:

Aufgabe 3
X sei eine endliche Menge mit n Elementen, und es sei:
Yk:={UcX|U hat k Elemente}, 0<k<n
Zeige:
|Yk| = n! bruchstrich k!(n-k)!


Hierbei heißt |A| die Anzahl an Elementen von A

Hoffe es kann jemand helfen...ist echt wichtig.
Danke im voraus.
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mythos2002 (mythos2002)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002

Nummer des Beitrags: 197
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 01. November, 2002 - 22:28:   Beitrag drucken

Hi,
die gesuchte Anzahl ist

(n
k) .. gesprochen: n über k

das ist die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur Klasse k, anders gesagt, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus n Elementen auszuwählen!

(n
k) = [n*(n-1)*......*(n-k)*(n-k+1)]/k!
Im Bruch sind im Zähler und Nenner jeweils k Faktoren.

Erweitern wir nun mit (n-k)!, so erhalten wir

(n
k) = [n*(n-1)*......*(n-k+2)*(n-k+1)]*(n-k)!/[k!*(n-k)! ]

(n
k) = [n*(n-1)*......*(n-k+2)*(n-k+1)*(n-k)*(n-k-1)...3* 2*1]/[k!*(n-k)!]

(n
k) = n!/[k!*(n-k)!]


Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002

Nummer des Beitrags: 199
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 02. November, 2002 - 13:59:   Beitrag drucken

Über die Formeln:

Das ist eine Grundformel der Kombinatorik:

Die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur Klasse k, anders gesagt, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus n Elementen auszuwählen, wobei es auf die Reihenfolge NICHT ankommt (sonst wäre es nämlich eine Variation), ist Kn;k = n über k

Z.B. kann man aus einer Menge X von 10 Elementen auf 120 verschiedene Arten Mengen U mit 3 Elementen auswählen, es ist
K10;3 = 10 über 3 = (10*9*8)/(1*2*3) = 120, es gibt also 120 verschieden 3-elementige Teilmengen U von X.

Zu den Formeln:
Es gilt zunächst:

(n
k) = [n*(n-1)*......*(n-k)*(n-k+1)]/k!

Das ensteht fogendermaßen:

Im Zähler werden von n ausgehend solange Faktoren, die immer um 1 abnehmen, angeschrieben, bis deren Anzahl gerade k ist und im Nenner steht dann immer k!, also ebenfalls k Faktoren.

Deswegen ist 10 über 3 eben (10*9*8)/(1*2*3) oder ein anderes Beispiel:

8 über 5 = (8*7*6*5*4)/(1*2*3*4*5)

Den Bruch kann man nun mit 3! erweitern -->

(8*7*6*5*4)/(5*4*3*2*1) = (8*7*6*5*4*3*2*1)/[(1*2*3*4*5)*(1*2*3)] = 8!/[5!*3!]


Verallgemeinert heisst das:

(n
k) = n!/[(n-k)!*k!]


Daraus folgt noch eine wichtige (und nützliche) Beziehung:

(n .. (n
k) = n-k)

probieren wir das gleich mal aus:

(8 .... (8
5) = .. 3), denn

8 über 5 = (8*7*6*5*4)/(1*2*3*4*5) = (8*7*6)/(1*2*3) = 8 über 3 (durch 4*5 konnte man kürzen!)

Somit kann man beispielsweise 10 über 8 (= 45) viel einfacher berechnen, wenn man statt dessen 10 über 2 (= 45) ermittelt.

Gr
mYthos

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