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Valerie (valle)
Neues Mitglied Benutzername: valle
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 11-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. November, 2002 - 19:37: |
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Hallo, kann mir bitte jemand sagen wie man folgende Aufgabe lösen könnte: Aufgabe 3 X sei eine endliche Menge mit n Elementen, und es sei: Yk:={UcX|U hat k Elemente}, 0<k<n Zeige: |Yk| = n! bruchstrich k!(n-k)! Hierbei heißt |A| die Anzahl an Elementen von A Hoffe es kann jemand helfen...ist echt wichtig. Danke im voraus. |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 197 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. November, 2002 - 22:28: |
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Hi, die gesuchte Anzahl ist (n k) .. gesprochen: n über k das ist die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur Klasse k, anders gesagt, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus n Elementen auszuwählen! (n k) = [n*(n-1)*......*(n-k)*(n-k+1)]/k! Im Bruch sind im Zähler und Nenner jeweils k Faktoren. Erweitern wir nun mit (n-k)!, so erhalten wir (n k) = [n*(n-1)*......*(n-k+2)*(n-k+1)]*(n-k)!/[k!*(n-k)! ] (n k) = [n*(n-1)*......*(n-k+2)*(n-k+1)*(n-k)*(n-k-1)...3* 2*1]/[k!*(n-k)!] (n k) = n!/[k!*(n-k)!] Gr mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 199 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 02. November, 2002 - 13:59: |
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Über die Formeln: Das ist eine Grundformel der Kombinatorik: Die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur Klasse k, anders gesagt, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus n Elementen auszuwählen, wobei es auf die Reihenfolge NICHT ankommt (sonst wäre es nämlich eine Variation), ist Kn;k = n über k Z.B. kann man aus einer Menge X von 10 Elementen auf 120 verschiedene Arten Mengen U mit 3 Elementen auswählen, es ist K10;3 = 10 über 3 = (10*9*8)/(1*2*3) = 120, es gibt also 120 verschieden 3-elementige Teilmengen U von X. Zu den Formeln: Es gilt zunächst: (n k) = [n*(n-1)*......*(n-k)*(n-k+1)]/k! Das ensteht fogendermaßen: Im Zähler werden von n ausgehend solange Faktoren, die immer um 1 abnehmen, angeschrieben, bis deren Anzahl gerade k ist und im Nenner steht dann immer k!, also ebenfalls k Faktoren. Deswegen ist 10 über 3 eben (10*9*8)/(1*2*3) oder ein anderes Beispiel: 8 über 5 = (8*7*6*5*4)/(1*2*3*4*5) Den Bruch kann man nun mit 3! erweitern --> (8*7*6*5*4)/(5*4*3*2*1) = (8*7*6*5*4*3*2*1)/[(1*2*3*4*5)*(1*2*3)] = 8!/[5!*3!] Verallgemeinert heisst das: (n k) = n!/[(n-k)!*k!] Daraus folgt noch eine wichtige (und nützliche) Beziehung: (n .. (n k) = n-k) probieren wir das gleich mal aus: (8 .... (8 5) = .. 3), denn 8 über 5 = (8*7*6*5*4)/(1*2*3*4*5) = (8*7*6)/(1*2*3) = 8 über 3 (durch 4*5 konnte man kürzen!) Somit kann man beispielsweise 10 über 8 (= 45) viel einfacher berechnen, wenn man statt dessen 10 über 2 (= 45) ermittelt. Gr mYthos
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