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Konv. Summe gegen s e Q

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Frederik Meineke (kaser)
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Neues Mitglied
Benutzername: kaser

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Oktober, 2002 - 11:45:   Beitrag drucken

Hallo,
kann mir jemand dazu n Ansatz geben mit dem ich was anfangen kann:
Sei an e { 0,1,2,...,n-1}
Summe von n=1 bis unendl. von an/n! konvergiert gegen s e[0,1]
.
Ist s rational (s = p/q mit 0 <=p<=q, p e N0,
so gilt:
an = 0 für fast alle n e N oder
an = n-1 für fast alle n e N.

Den Tip, den ich bekommen habe ist folgender:
m = q! ( s - Summe von oben aber nur bis q)
zu zeigen: m e N0 mit 0<=m<=1 ==> m = 0 oder m = 1

e = Summe von n=0 bis unendl. von 1/n! ist irrational.

Ich weiß aber nicht, was ich damit genau anfangen kann.

Danke
Kaser
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Frederik Meineke (kaser)
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Mitglied
Benutzername: kaser

Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 11:23:   Beitrag drucken

Kann mir denn wirklich keiner von Euch dabei helfen?
;-(((((((
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Orion (orion)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 347
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 14:03:   Beitrag drucken

Frederik :

s = Soo n=1 an/n! =<

Soo n=1 (n-1)/n!.

Wegen (n-1)/n! = 1/(n-1)! - 1/n! hat die letztere Reihe den Wert 1.

Der Beweis für die Irrationalität von e geht so:

Annahme: e = p/q . Wegen 2 < e < 3 ist q>1.
Die Zahl

m := q!*(e-Sq k=01/k!} ist einerseits
offenbar ganz. Andererseits ist

m = Soo k=q+1q!/k! =

Soo k=1q!/(q+k)! =

Soo k=11/(q+1)*...*(q+k)

< Soo k=1(1/(q+1))k = 1/q

(geometrische Reihe !) , also 0 < m < 1,
im Widerspruch zur Ganzzahligkeit von m.

Etwa nach diesem Muster sollte der Beweis
der 2. Aussage funktionieren.

mfg

Orion
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Orion (orion)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 348
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 01. November, 2002 - 14:49:   Beitrag drucken

Frederik,

Ich habe jetzt Zeit, den Beweis der 2. Aussage
etwas ausführlicher zu skizzieren (nicht
ganz trivial, als Uebungsaufgabe schon
eher anspruchsvoll, es hat mich selbst
interessiert). Folgendermassen kommst du
ans Ziel (ich überlasse dir die Einzelheiten!)

Wir brauchen folgende Hilfsformeln:

(1) Soo k=1 (q+k)/(q+1)k

= 1 + (q+1)/q2.

(2) 1/q! = Soo k=q+1 (k-1)/k!

Ad (1) : Geometrische Reihe und ihre Ableitung.
Ad(2) : Die endliche Summe von k=q+1 bis
k=q+N ist eine Teleskopsumme und ist
= 1/q! - 1/(q+N)!.

Mit (1) lässt sich die in der Anleitung
definierte ganze Zahl m abschätzen:

0 =< m < 1+(q+1)/q2.

Die rechte Seite ist < 2. Daher kommt nur
m=0 oder m=1 in Frage.

m=0 : ak = 0 für k > q.

m=1 : s = 1/q! + Sq k=0

Nach (2) folgt ak = k-1 für k > q.


Ñ
mfg

Orion

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