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Frederik Meineke (kaser)
Neues Mitglied Benutzername: kaser
Nummer des Beitrags: 5 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Oktober, 2002 - 11:45: |
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Hallo, kann mir jemand dazu n Ansatz geben mit dem ich was anfangen kann: Sei an e { 0,1,2,...,n-1} Summe von n=1 bis unendl. von an/n! konvergiert gegen s e[0,1] . Ist s rational (s = p/q mit 0 <=p<=q, p e N0, so gilt: an = 0 für fast alle n e N oder an = n-1 für fast alle n e N. Den Tip, den ich bekommen habe ist folgender: m = q! ( s - Summe von oben aber nur bis q) zu zeigen: m e N0 mit 0<=m<=1 ==> m = 0 oder m = 1 e = Summe von n=0 bis unendl. von 1/n! ist irrational. Ich weiß aber nicht, was ich damit genau anfangen kann. Danke Kaser |
Frederik Meineke (kaser)
Mitglied Benutzername: kaser
Nummer des Beitrags: 16 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 11:23: |
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Kann mir denn wirklich keiner von Euch dabei helfen? ;-((((((( |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 347 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Oktober, 2002 - 14:03: |
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Frederik : s = Soo n=1 an/n! =< Soo n=1 (n-1)/n!. Wegen (n-1)/n! = 1/(n-1)! - 1/n! hat die letztere Reihe den Wert 1. Der Beweis für die Irrationalität von e geht so: Annahme: e = p/q . Wegen 2 < e < 3 ist q>1. Die Zahl m := q!*(e-Sq k=01/k!} ist einerseits offenbar ganz. Andererseits ist m = Soo k=q+1q!/k! = Soo k=1q!/(q+k)! = Soo k=11/(q+1)*...*(q+k) < Soo k=1(1/(q+1))k = 1/q (geometrische Reihe !) , also 0 < m < 1, im Widerspruch zur Ganzzahligkeit von m. Etwa nach diesem Muster sollte der Beweis der 2. Aussage funktionieren.
mfg Orion
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 348 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. November, 2002 - 14:49: |
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Frederik, Ich habe jetzt Zeit, den Beweis der 2. Aussage etwas ausführlicher zu skizzieren (nicht ganz trivial, als Uebungsaufgabe schon eher anspruchsvoll, es hat mich selbst interessiert). Folgendermassen kommst du ans Ziel (ich überlasse dir die Einzelheiten!) Wir brauchen folgende Hilfsformeln: (1) Soo k=1 (q+k)/(q+1)k = 1 + (q+1)/q2. (2) 1/q! = Soo k=q+1 (k-1)/k! Ad (1) : Geometrische Reihe und ihre Ableitung. Ad(2) : Die endliche Summe von k=q+1 bis k=q+N ist eine Teleskopsumme und ist = 1/q! - 1/(q+N)!. Mit (1) lässt sich die in der Anleitung definierte ganze Zahl m abschätzen: 0 =< m < 1+(q+1)/q2. Die rechte Seite ist < 2. Daher kommt nur m=0 oder m=1 in Frage. m=0 : ak = 0 für k > q. m=1 : s = 1/q! + Sq k=0 Nach (2) folgt ak = k-1 für k > q. Ñ mfg Orion
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