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Sniper
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. April, 2001 - 02:03: | 
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Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Aufgabenstellung:
Zerlegen Sie das Polynom p(x)=x^4+5 in zwei reelle quadratische Polynome.
Mein Ansatz:
// Orientierung am 3.Binom.
// i=-1^(1/2)
p(x)=x^4+5
=(x^2-5^(1/2)*i)*(x^2+5^(1/2)*i)
=[(x+5^(1/4)*i^(1/2))*(x-5^(1/4)*i^(1/2))]*[(x+(5^(1/4)*i^(1/2))*i)*(x-(5^(1/4)*i^(1/2))*i)]
Bin ich mit diesem Ansatz eigentlich auf dem richtigen Weg?
Wie gelange ich zur Lösung der Aufgabe? |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. April, 2001 - 08:05: |
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Hallo :
Mit dem naheliegenden Ansatz
p(x) = (x^2 + ax + b)(x^2 - ax + b)
und Koeffizientenvergleich ergibt sich sofort
a = 20^(1/4) , b = sqrt(5).
Gruss
Hans |
Sniper
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. April, 2001 - 18:28: |
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Hallo Hans
Danke für den Tip. Unter Verwendung deines Ansatzes komme ich zwar auf das ursprüngliche Polynom, aber dadurch ist folgendes Problem noch nicht beseitigt:
Wie kommst du von
p(x)=x^4+5 auf p(x) = (x^2 + ax + b)(x^2 - ax + b) und auf die Werte der Koeffizienten a und b?
Probiert oder errechnet? So "naheliegend" finde ich deinen Ansatz nicht. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. April, 2001 - 21:33: |
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Der Leitkoeffizient der rechten Seite muss 1 sein,
der Koeffizient von x^3 muss verschwinden, das
fŸhrt mehr oder weniger unmittelbar auf obigen
Ansatz. Nach ausmultiplizieren und ordnen nach
Potenzen von x verbleiben dann noch die Bedingungen
2b - a^2 = 0 und b^2 = 5.
NatŸrlich koennte man auch mit
p(x) = (ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)
starten. Dann kaeme man zum selben Resultat
(versuch's mal). Die Methode des scharfen Hinsehens lohnt sich allemal !
Hans |
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