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Bitte Hilfe!!!

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Angela
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Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 21:31:   Beitrag drucken

Hi ihr alle,
weiss jemand wie man die lösungsmengen der folgenden Ungleichungen in R bestimmen kann?
1.|2x-1|<|x-1|
2.|(x+1)(3-x)|>=3
3.|x+2|+|2-x|<=12
Vielen dank im voraus!
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Lerny
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Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 19:15:   Beitrag drucken

Hi Angela

1. |2x-1|<|x-1|
Wegen 2x-1=0 <=>2x=1 <=> x=1/2
und x-1=0 <=> x=1
ergeben sich zunächst folgende Intervalle
(-oo;1/2]; (1/2;1); (1;oo)
Jetzt werden diese drei Möglichkeiten weiter untersucht:
1. Fall: x<=1/2
-2x+1<-x+1 <=> 0<x <=> x>0 => (0;1/2]
2. Fall: 1/2<x<1
2x-1<-x+1 <=> 3x<2 <=> x<2/3 => (2/3;1)
3. Fall: x>1
2x-1<x-1 <=> x<0 falsche Aussage
L=(0;1/2]U(2/3;1)

mfg Lerny
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Fern
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Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 20:40:   Beitrag drucken

Hallo Angela,
Ich erhalte als Lösung für das 1. Beispiel:

(0; 2/3)
====================
Am Besten, du rechnest selbst mal nach.
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Rose
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Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 22:26:   Beitrag drucken

Hallo Angela

zu 1.
Fern hat Recht. In der eigentlich sehr schönen Herlöeitung von Learny ist nur ein winziger Fehler bei der letzten Folgerung Fall2.

zu 2.
|(x+1)*(3-x)|>=3 <=> |-x^2+2*x+3|>=3
Man sucht also solche x,für die eine nach unten geöffnete Parabel Werte annimmt ,die >=3 sind.
Dazu berechnet man die Stellen mit f(x)=3
Das führt auf die Gleichung:
-x^2+2*x=0 bzw x*(2-x)=0 <=> x=0 v x=2
=> die Ungleichung ist erfüllt für 0<=x<=2

zu 3.
|x+2|+|2-x|<=12 erfordert wieder eine Fallunterscheidung wie bei 1.
Die kitzeligenStellen sind diesmal -2 und 2

Fall 1 -oo<x<=-2
-x-2+2-x<=12 <=> -2*x<=12 x>=-6 => -6<=x<=-2

Fall 2 -2<=x<=2
x+2+2-x<=12 <=> 4<=12 => -2<=x<=2

Fall 3 2<=x<=oo
x+2-2+x<=12 <=> 2*x<=12 x<=6 => 2<=x<=6

=> L=[-6;6]
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Fern
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Veröffentlicht am Dienstag, den 10. April, 2001 - 07:49:   Beitrag drucken

Hallo allerseits,
Dies scheint doch schwerer zu sein als es aussieht.
Ich zeige mal ausführlicher das Beispiel 2:

|(x+1)*(3-x)| >=3

|-x²+2x+3| >=3
Wir ermitteln kritische Punkte, d.h. jene Stellen, wo die Funktion, die zwischen den Absolutstrichen steht gleich null wird.

-x²+2x+3 = 0
quadratische Gleichung: ergibt x=3 und x= -1
Wir teilen daher die Zahlengerade in 3 Intervalle auf:
1) (-oo; -1) ....... das Argument von Absolut ist (-)
2) (-1; 3)............das Argument von Absolut ist (+)
3) (3; +oo).........das Argument von Absolut ist (-)
===============
1.Fall : x aus (-oo; -1)
Weil das Argument (-) gilt:
x²-2x-3 >=3
x²-2x-6 >=0
Quadratische Gleichung x²-2x-3 = 0 ergibt:
x=1 + Ö7 und x=1 - Ö7
Lösung für Fall1 also: (-oo; 1 - Ö7)
================================
2.Fall : x aus (-1; 3)
Es gilt:
-x²+2x+3 >=3
-x²+2x >=0
Die Gleichung -x²+2x=0 ergibt x=0 und x=2
Lösung für Fall 2 also: (0; 2)
============================
3.Fall : x aus (3; +oo)
Es gilt:
x²-2x-3 >=3
x²-2x-6 >= 0
Die Gleichung x²-2x-6 = 0 wie bei Fall 1:
Lösung für Fall 3 also: (1+ Ö7; +oo)
=================================
Um die Gesamtlösung zu erhalten, kombinieren wir nun die
blauen Intervalle und erhalten:
(-oo; 1-Ö7] U [0; 2] U [1+Ö7; +oo)
=================================================
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Dienstag, den 10. April, 2001 - 11:27:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Die dritte Aufgabe kann elegant dadurch gelöst
werden, dass man die Ungleichung in der
komplexen Zahlenebene veranschaulicht.
Mit z = x + i y stellt die Ungleichung
abs [z - (-2)] + abs [z - 2 ] < = 12
das Innere einer Ellipse samt Rand dar,
von welcher die
Brennpunkte F1(-2 / 0 ) , F2( 2 / 0 )
und die grosse Halbachse a = 12 / 2 = 6 bekannt sind.
Aus der linearen Exzentrizität e = 2 und a = 6
könnte man b = wurzel( a ^ 2 - e ^ 2 ) = 4*wurzel (2)
berechnen.
Die Gleichung der Ellipse lautet:
x ^ 2 / 36 + y ^ 2 / 32 = 1.
Diese Gleichung benötigen wir allerdings nicht;
wir grenzen den Horizont wieder ein und kehren zu
den reellen Zahlen zurück, d.h. auf der x -.Achse ist
die Sachlage diese:
Lösungsmenge der x-Werte
- a < = x < = a , also - 6 < = x < = 6 oder einfach
abs(x) < = 6
°°°°°°°°°°°°°
Bitte kontrollieren !

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Rose
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Veröffentlicht am Dienstag, den 10. April, 2001 - 13:05:   Beitrag drucken

Sorry!

Da ist mir bei Aufgabe 2 doch glatt eine Fallunterscheidung entgangen

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