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Angela
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 21:31: |
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Hi ihr alle, weiss jemand wie man die lösungsmengen der folgenden Ungleichungen in R bestimmen kann? 1.|2x-1|<|x-1| 2.|(x+1)(3-x)|>=3 3.|x+2|+|2-x|<=12 Vielen dank im voraus! |
Lerny
| Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 19:15: |
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Hi Angela 1. |2x-1|<|x-1| Wegen 2x-1=0 <=>2x=1 <=> x=1/2 und x-1=0 <=> x=1 ergeben sich zunächst folgende Intervalle (-oo;1/2]; (1/2;1); (1;oo) Jetzt werden diese drei Möglichkeiten weiter untersucht: 1. Fall: x<=1/2 -2x+1<-x+1 <=> 0<x <=> x>0 => (0;1/2] 2. Fall: 1/2<x<1 2x-1<-x+1 <=> 3x<2 <=> x<2/3 => (2/3;1) 3. Fall: x>1 2x-1<x-1 <=> x<0 falsche Aussage L=(0;1/2]U(2/3;1) mfg Lerny |
Fern
| Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 20:40: |
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Hallo Angela, Ich erhalte als Lösung für das 1. Beispiel: (0; 2/3) ==================== Am Besten, du rechnest selbst mal nach. |
Rose
| Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 22:26: |
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Hallo Angela zu 1. Fern hat Recht. In der eigentlich sehr schönen Herlöeitung von Learny ist nur ein winziger Fehler bei der letzten Folgerung Fall2. zu 2. |(x+1)*(3-x)|>=3 <=> |-x^2+2*x+3|>=3 Man sucht also solche x,für die eine nach unten geöffnete Parabel Werte annimmt ,die >=3 sind. Dazu berechnet man die Stellen mit f(x)=3 Das führt auf die Gleichung: -x^2+2*x=0 bzw x*(2-x)=0 <=> x=0 v x=2 => die Ungleichung ist erfüllt für 0<=x<=2 zu 3. |x+2|+|2-x|<=12 erfordert wieder eine Fallunterscheidung wie bei 1. Die kitzeligenStellen sind diesmal -2 und 2 Fall 1 -oo<x<=-2 -x-2+2-x<=12 <=> -2*x<=12 x>=-6 => -6<=x<=-2 Fall 2 -2<=x<=2 x+2+2-x<=12 <=> 4<=12 => -2<=x<=2 Fall 3 2<=x<=oo x+2-2+x<=12 <=> 2*x<=12 x<=6 => 2<=x<=6 => L=[-6;6] |
Fern
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. April, 2001 - 07:49: |
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Hallo allerseits, Dies scheint doch schwerer zu sein als es aussieht. Ich zeige mal ausführlicher das Beispiel 2: |(x+1)*(3-x)| >=3 |-x²+2x+3| >=3 Wir ermitteln kritische Punkte, d.h. jene Stellen, wo die Funktion, die zwischen den Absolutstrichen steht gleich null wird. -x²+2x+3 = 0 quadratische Gleichung: ergibt x=3 und x= -1 Wir teilen daher die Zahlengerade in 3 Intervalle auf: 1) (-oo; -1) ....... das Argument von Absolut ist (-) 2) (-1; 3)............das Argument von Absolut ist (+) 3) (3; +oo).........das Argument von Absolut ist (-) =============== 1.Fall : x aus (-oo; -1) Weil das Argument (-) gilt: x²-2x-3 >=3 x²-2x-6 >=0 Quadratische Gleichung x²-2x-3 = 0 ergibt: x=1 + Ö7 und x=1 - Ö7 Lösung für Fall1 also: (-oo; 1 - Ö7) ================================ 2.Fall : x aus (-1; 3) Es gilt: -x²+2x+3 >=3 -x²+2x >=0 Die Gleichung -x²+2x=0 ergibt x=0 und x=2 Lösung für Fall 2 also: (0; 2) ============================ 3.Fall : x aus (3; +oo) Es gilt: x²-2x-3 >=3 x²-2x-6 >= 0 Die Gleichung x²-2x-6 = 0 wie bei Fall 1: Lösung für Fall 3 also: (1+ Ö7; +oo) ================================= Um die Gesamtlösung zu erhalten, kombinieren wir nun die blauen Intervalle und erhalten: (-oo; 1-Ö7] U [0; 2] U [1+Ö7; +oo) ================================================= |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. April, 2001 - 11:27: |
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Hi allerseits, Die dritte Aufgabe kann elegant dadurch gelöst werden, dass man die Ungleichung in der komplexen Zahlenebene veranschaulicht. Mit z = x + i y stellt die Ungleichung abs [z - (-2)] + abs [z - 2 ] < = 12 das Innere einer Ellipse samt Rand dar, von welcher die Brennpunkte F1(-2 / 0 ) , F2( 2 / 0 ) und die grosse Halbachse a = 12 / 2 = 6 bekannt sind. Aus der linearen Exzentrizität e = 2 und a = 6 könnte man b = wurzel( a ^ 2 - e ^ 2 ) = 4*wurzel (2) berechnen. Die Gleichung der Ellipse lautet: x ^ 2 / 36 + y ^ 2 / 32 = 1. Diese Gleichung benötigen wir allerdings nicht; wir grenzen den Horizont wieder ein und kehren zu den reellen Zahlen zurück, d.h. auf der x -.Achse ist die Sachlage diese: Lösungsmenge der x-Werte - a < = x < = a , also - 6 < = x < = 6 oder einfach abs(x) < = 6 °°°°°°°°°°°°° Bitte kontrollieren ! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
Rose
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. April, 2001 - 13:05: |
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Sorry! Da ist mir bei Aufgabe 2 doch glatt eine Fallunterscheidung entgangen |
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