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Christina
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. März, 2001 - 12:08: | 
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Hallo zusammen,
mit welcher allgemeinen Taktik lassen sich gegebene Funktionen in der Nähe eines Entwicklungspunktes zu Potenzreihen umwandeln?
Ich denke dabei nicht an eine Approximation mittels Taylor, sondern an Reihen, deren Grenzwert dem Funktionswert der vorgegebenen Funktion entspricht. So etwa
f(x) = 1 / (x^2 + 3x) um x0=-2
Danke im voraus |
gerdm
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. März, 2001 - 13:16: |
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Aber Hallo !
Die Taylorreihe konvergiert (wenn alles gut geht) nicht an einem Punkt, sondern mindestens in einem Intervall um den Entwicklungspunkt.
Ich verstehe nun nicht, was die "neue" Potenzreihe noch mehr leisten soll. |
doerrby
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. März, 2001 - 13:52: |
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Ich glaube, Christina meint eine Reihe vergleichbar mit der geometrischen Reihe
S¥ n=0 xn = 1/(1-x) für |x|<1 .
So betrachtet würde ich hier mit einer Partialbruchzerlegung anfangen:
1/(x2+3x) = 1/(x(x+3)) = A/x + B/(x+3) = ( A(x+3)+Bx )/( x(x+3) ) = ( (A+B)x+3A )/( x(x+3) )
Þ 3A = 1 ; A+B = 0
Þ A = 1/3 ; B = -1/3
Den zweiten Bruch kann ich jetzt entsprechend anpassen:
-1/3 * 1/(x+3) = -1/9 * 1/(1-(-x/3)) = -1/9 * S¥ n=0 (-x/3)n für |x|<3
Wie man das aber bei dem ersten Bruch hinkriegt, sehe ich so direkt nicht. Man könnte schreiben
1/x = 1/(1-(1-x)) = S¥ n=0 (1-x)n
aber das halte ich für gekünstelt, außerdem konvergiert's nur für |x| < 1.
Gruß Dörrby |
gerdm
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. März, 2001 - 14:20: |
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Aber Hallo !
Kleine Bemerkung: Die geometrische Reihe ist auch nichts anderes als die Taylorreihe der Funktion f(x)=1/(1-x) entwickelt um 0.
Vielleicht eine Idee: Koeffizientenvergleich in
SUM(a[n]*(x-x0)^n)*(x^2+3x)=1.
Wird aber schwierig bei x0 ungleich 0. |
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