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stefan
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. März, 2001 - 08:23: | 
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betrachte den kettenbruch x=[h1,...,hn]
ist hn eine natürliche zahl, dann bricht der kettenbruch ab und x ist rational. das ist klar.
wie begründe ich denn aber am besten die umgekehrte aussage: ist x rational, dann bricht die kettenbruchentwicklung ab. |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. März, 2001 - 22:41: |
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Mir fällt im Moment nur ein algorithmischer Beweis ein.
Die hn werden nacheinander bestimmt durch:
x1 := x
hn = [xn], xn+1 = 1/(xn - [xn])
Da x = a/b rational, werden die Nenner von xn in jedem Schritt kleiner. Also ist nach endlich vielen Schritten xn ganzzahlig, also das letzte hn. Der Algorithmus bricht ab. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. März, 2001 - 08:29: |
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Hi Stefan , Hi stefan,
Stefan 26 hat die von stefan aufgeworfene Frage
nach meinem Dafürhalten bereits umfassend beantwortet.
Es geht offenbar darum, zu zeigen ,dass der Algorithmus der
Kettenbruchentwicklung für rationale x mit dem Euklidischen
Algorithmus zur Ermittlung des ggT übereinstimmt und daher
abbricht Dies wird jeweils bei der Herleitung des
Euklid-Verfahrens gezeigt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,mehamath. |
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