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Maxima und Minima

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stephan
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Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 12:17:   Beitrag drucken

Ich komm leider nicht weiter!
Extremstellen der Funktion unter der angegebenen Nebenbedingung?
u = x^3 + y^3 + z^3
x + y + z = 1

oder:
u = x^2 + y^2
x + y = 1

Wie geh ich weiter vor wenn das ganze parabolisch ist?
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Fern
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Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 14:06:   Beitrag drucken

Hallo stephan,
Ich wähle das erste Beispiel:

u=x³+y³+z³
g=x+y+z-1
============
Langrangescher Ansatz: Ñu = l Ñg

Wir bilden die partiellen Ableitungen:
ux = 3x²
uy = 3y²
uz = 3z²
gx = 1
gy = 1
gz = 1
und schreiben damit den Lagrangeschen Ansatz in Komponentenform:

3x² = l
3y² = l
3z² = l
x+y+z-1 = 0
==========
Dies sind 4 Gleichungen für die Unbekannten x, y, z, l.
Sie ergeben die folgenden 4 Lösungen: (= 4 Extremstellen)
x= 1, y= 1, z= -1, l =3, mit u(1,1,-1) = 1
x= 1, y= -1, z -1, l = 3, mit u(1,-1,1) = 1
x= -1, y=1, z= 1, l = 3, mit u(-1,1,1) = 1
x= 1/3, y=1/3, z = 1/3, l = 1/3, mit u(1/3,1/3,1/3) = 1/9
=======================================
Zum Fall, dass "das ganze parabolisch ist" habe ich leider keine Meinung.
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Fern
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Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 14:08:   Beitrag drucken

Tippteufel:
2. Extrempunkt ist:
x= 1, y= -1, z= 1

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