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Inhomogene DG. 2.Ordnung

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Differentialrechnung » Inhomogene DG. 2.Ordnung « Zurück Vor »

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Armin (Arminbwagner)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. März, 2001 - 18:21:   Beitrag drucken

Kann mir jemand Tipps geben, wie man Gleichungen der Art:
y''-4y'+4y = xe^2

oder z.B.

y''-4y = sin2x

lösen kann? Bin dankbar für jeden Ratschlag.
Danke!
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Armin (Arminbwagner)
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Veröffentlicht am Freitag, den 16. März, 2001 - 01:45:   Beitrag drucken

Nach Nachlesen einiger vergangener Diskussionen
habe ich jetzt wieder etwas Durchblick (unklare Erinnerungen aus der Schulzeit kommen langsam zum Vorschein). Aber vorallem der Link zu http://www.sosmath.com/diffeq/second/guessing/
war sehr hilfreich.

Kann mir noch jemand kurz erklären wie ich die Gleichung y''-y' = x*sin(x) berechne?
Irgendwie stecke ich da beim Ansatz der inhomogenen Lösung...
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Freitag, den 16. März, 2001 - 07:39:   Beitrag drucken

Hi Armin ,


Wir finden eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl.
y '' - y ' = x * sin x
durch den Ansatz
y = a* cos x + b * sin x + c * x * cos x + d * x* sin x
Wir berechnen die beiden Ableitungen
y ' = - a sin x + b cos x + c cos x - c x sin x + d sinx + d x cos x
y'' = - a cos x - b sin x - 2c sin x - c x cos x +2d cos x - dx sin x
Setzt man diese Terme in die Dgl. ein und ordnet gehörig ,
so kommt die Identität in x:
[ -a + 2d - b - c ] * cos x + [- b + a - d - 2c] * sin x
+ [- c - d ] * x * cos x + [- d + c ] * x * sin x = x * sin x
Der Koeffizientenvergleich liefert vier lineare Gleichungen
für a , b , c , d:
- a + 2d - b - c = 0
- b + a - d - 2c = 0
- c - d = 0
- d + c = 1

Daraus berechnen wir: a = - ½ , b = -1 , c = ½ , d = - ½
Die gesuchte Lösung lautet somit:
y = - ½ cos x - sin x + ½ x cos x - ½ x sin x
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Armin (Arminbwagner)
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Veröffentlicht am Freitag, den 16. März, 2001 - 14:13:   Beitrag drucken

Danke für die prompte Antwort Megamath ;-) !
Wenn ich das richtig verstanden hab, hast du das x vor dem Sinus als ein Polynom 1.Grades interpretiert und es dann beim Ansatz jeweils mit Cos und Sin multipliziert.

Tn(x) = A + C * x
Rn(x) = B + D * x

yk = Tn(x)*cos(x) + Rn(x)sin(x)

Stimmt das, oder bin ich total am Holzweg?
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Samstag, den 17. März, 2001 - 16:52:   Beitrag drucken

Hi Armin,

Es folgen ein paar Ergänzungen zu Deiner Anfrage

1.
Du bist nicht auf dem Holzweg
Mein Ansatz zur Gewinnung einer partikulären Lösung
der inhomogenen Gleichung hat die von Dir erwähnte Form.

2.
Es ist reizvoll, diese letzte Aufgabe etwas unkonventionell
zu lösen und vom gewohnten Pfad abzuweichen.
Wir bemerken, dass die Dgl. die Variable y nicht explizit enthält,
also y -frei ist, wie man sagt.
Wir können (erfolgreich !) die Substitution
y ' = p(x) , also y '' = p'(x) durchführen und gelangen so zu einer
Dgl. erster Ordnung ,die wir in gewohnter souveräner Art lösen.
Zum Schluss erhalten wir durch eine einfache Integration die Lösung
Deiner Dgl. zweiter Ordnung.


3.
Bei der von Dir vorgelegten Dgl . y '' - 4 y = sin 2x
führt der Ansatz y = a * sin 2 x zum Ziel, wir erhalten
a = - 1 / 8 für eine partikuläre Lösung

4.
Du findest sehr schöne Beispiele für Dgln. im Archiv dieses Forums

a) unter dem Stichwort "Ferhat" gibt es 12 lehrreiche Aufgaben, die
Ferhat gestellt hat ; die ausführlichen Lösungen stammen aus einer
Grossaktion, ausgeführt von Fern und mir .

b) unter dem Stichwort "weissnich" gibt es zahlreiche weitere schöne
Beispiele mit ebensolchen Lösungen.

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Samstag, den 17. März, 2001 - 21:40:   Beitrag drucken

Hi Armin ,

Zum Schluss noch dies:
In einem kleinen Memorandum, das ich vor längerer
Zeit ins Board stellte
(siehe im Archiv unter dem Stichwort "Notlösung"),
findest Du eine passende Antwort auf Deine
Fragen nach partikulären Lösungen inhomogener
Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Ich wünsche Dir weiterhin Erfolg beim Studium dieses
interessanten Teilgebietes der Analysis !

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.

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