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Armin (Arminbwagner)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. März, 2001 - 18:21: |
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Kann mir jemand Tipps geben, wie man Gleichungen der Art: y''-4y'+4y = xe^2 oder z.B. y''-4y = sin2x lösen kann? Bin dankbar für jeden Ratschlag. Danke! |
Armin (Arminbwagner)
| Veröffentlicht am Freitag, den 16. März, 2001 - 01:45: |
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Nach Nachlesen einiger vergangener Diskussionen habe ich jetzt wieder etwas Durchblick (unklare Erinnerungen aus der Schulzeit kommen langsam zum Vorschein). Aber vorallem der Link zu http://www.sosmath.com/diffeq/second/guessing/ war sehr hilfreich. Kann mir noch jemand kurz erklären wie ich die Gleichung y''-y' = x*sin(x) berechne? Irgendwie stecke ich da beim Ansatz der inhomogenen Lösung... |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 16. März, 2001 - 07:39: |
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Hi Armin , Wir finden eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl. y '' - y ' = x * sin x durch den Ansatz y = a* cos x + b * sin x + c * x * cos x + d * x* sin x Wir berechnen die beiden Ableitungen y ' = - a sin x + b cos x + c cos x - c x sin x + d sinx + d x cos x y'' = - a cos x - b sin x - 2c sin x - c x cos x +2d cos x - dx sin x Setzt man diese Terme in die Dgl. ein und ordnet gehörig , so kommt die Identität in x: [ -a + 2d - b - c ] * cos x + [- b + a - d - 2c] * sin x + [- c - d ] * x * cos x + [- d + c ] * x * sin x = x * sin x Der Koeffizientenvergleich liefert vier lineare Gleichungen für a , b , c , d: - a + 2d - b - c = 0 - b + a - d - 2c = 0 - c - d = 0 - d + c = 1 Daraus berechnen wir: a = - ½ , b = -1 , c = ½ , d = - ½ Die gesuchte Lösung lautet somit: y = - ½ cos x - sin x + ½ x cos x - ½ x sin x °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
Armin (Arminbwagner)
| Veröffentlicht am Freitag, den 16. März, 2001 - 14:13: |
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Danke für die prompte Antwort Megamath ;-) ! Wenn ich das richtig verstanden hab, hast du das x vor dem Sinus als ein Polynom 1.Grades interpretiert und es dann beim Ansatz jeweils mit Cos und Sin multipliziert. Tn(x) = A + C * x Rn(x) = B + D * x yk = Tn(x)*cos(x) + Rn(x)sin(x) Stimmt das, oder bin ich total am Holzweg? |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Samstag, den 17. März, 2001 - 16:52: |
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Hi Armin, Es folgen ein paar Ergänzungen zu Deiner Anfrage 1. Du bist nicht auf dem Holzweg Mein Ansatz zur Gewinnung einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung hat die von Dir erwähnte Form. 2. Es ist reizvoll, diese letzte Aufgabe etwas unkonventionell zu lösen und vom gewohnten Pfad abzuweichen. Wir bemerken, dass die Dgl. die Variable y nicht explizit enthält, also y -frei ist, wie man sagt. Wir können (erfolgreich !) die Substitution y ' = p(x) , also y '' = p'(x) durchführen und gelangen so zu einer Dgl. erster Ordnung ,die wir in gewohnter souveräner Art lösen. Zum Schluss erhalten wir durch eine einfache Integration die Lösung Deiner Dgl. zweiter Ordnung. 3. Bei der von Dir vorgelegten Dgl . y '' - 4 y = sin 2x führt der Ansatz y = a * sin 2 x zum Ziel, wir erhalten a = - 1 / 8 für eine partikuläre Lösung 4. Du findest sehr schöne Beispiele für Dgln. im Archiv dieses Forums a) unter dem Stichwort "Ferhat" gibt es 12 lehrreiche Aufgaben, die Ferhat gestellt hat ; die ausführlichen Lösungen stammen aus einer Grossaktion, ausgeführt von Fern und mir . b) unter dem Stichwort "weissnich" gibt es zahlreiche weitere schöne Beispiele mit ebensolchen Lösungen. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Samstag, den 17. März, 2001 - 21:40: |
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Hi Armin , Zum Schluss noch dies: In einem kleinen Memorandum, das ich vor längerer Zeit ins Board stellte (siehe im Archiv unter dem Stichwort "Notlösung"), findest Du eine passende Antwort auf Deine Fragen nach partikulären Lösungen inhomogener Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Ich wünsche Dir weiterhin Erfolg beim Studium dieses interessanten Teilgebietes der Analysis ! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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