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Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 135
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 19:42: | 
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Hallo zusammen,
eine kurze Frage:
Wie spiegel ich eine Gerade y=ax+b die nicht durch den Ursprung verlaufen soll (b<>0) am Einheitskreis?
Ergebnis müsste ein Kreis sein, die Frage ist nur, wie lautet die Kreisgleichung und welchen Radius und Mittelpunkt hat der Bildkreis?
viele Grüße
Niels |
megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 10:00: |
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Hi Niels,
Bevor ich Deine Aufgabe rechnerisch löse, gebe ich Dir eine
verbale Skizze des Lösungsweges.
Beachte zunächst, dass die Spiegelung am Kreis, die so genannte
Inversion oder Abbildung durch reziproke Radien kreistreu im
weitesten Sinn des Wortes ist, d.h. das Bild eines Kreises oder einer
Geraden ist wiederum ein Kreis (oder eine Gerade).
Das Bild g* einer Geraden g, die nicht durch den Mittelpunkt O des
Inversionskreises geht, ist ein (eigentlicher) Kreis und nicht eine
Gerade, weil die Bildkurve nicht durch den unendlich fernen Punkt,
welcher als Bildpunkt von O auftritt, geht.
Hingegen geht der Kreis g* durch O, weil dieser das Bild des
unendlich fernen Punktes U von g ist.
Da die Konstruktion des Bildpunktes P* von P bezüglich des
Zentrums O eine rotationssymmetrische ist, kannst Du o.B.d.A.
annehmen, dass die gegebene Gerade g senkrecht zur x-Achse steht
und die Gleichung x = u hat mit u > 0 als Parameter.
Der Inversionskreis hat die Gleichung
x^2 + y^2 = 1.
Der Bildkreis g* ist zur x-Achse symmetrisch; daher liegt der
Mittelpunkt von g auf der x-Achse und die Strecke OS mit
xS =1/u, yS = 0 ist ein Durchmesser des Kreises g*, dessen Gleichung
man nun sofort aufstellen kann.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 138
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 13:01: |
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Hallo Hans Rudolf,
das mit der Kreistreue ist mir bekannt. Auch das man Geraden als Kreise mit Radius unendlich auffassen kann. Auch mit der Rotationsymetrie ist mir das klar, aber mir fehlt der Rechnerische Zusammenhang.
Ich wollte eigentlich eine allgemeine Geradengleichung in der z-Ebene haben die ich wie gewönlich durch W=1/z% spiegle. Ist das so einfach möglich?
übrigens, hast du etwas weiter unten meine Frage zur spiegelung einer Parabel am Einheitskreis vernommen?
Viele Grüße
Niels
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megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 13:17: |
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Hi Niels,
Die rechnerische Lösung Deiner Aufgabe ist recht einfach und zwar
auch für den allgemeinen Fall.
Die gegebene Gerade g habe die Gleichung y = a x + b,
wobei b ausdrücklich nicht null sein soll.
Verwende die Abbildungsgleichungen
x = u / (u^2 + v^2) , y = v / (u^2 + v^2),
die Du aus meiner von Dir zitierten früheren Arbeit im Board
herauskristallisieren kannst.
x und y sind die Koordinaten des Originalpunktes P ,
u und v sind die Koordinaten des Bildpunktes P*.
Wir legen die Original- und Bildebene so aufeinander,
dass die u-Achse mit der x-Achse und die v-Achse mit der
y-Achse zusammenfallt.
Ersetzt man in der Geradengleichung y und x gemäß der
obigen Abbildungsgleichungen durch die Terme in u und v,
so erhält man die Gleichung des gesuchten Kreises, nämlich:
v / (u ^ 2 + v ^ 2) = a* u / (u ^ 2 + v ^ 2) + b , oder:
b u ^ 2 + b v ^ 2 + a u – v = 0
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Es handelt sich tatsächlich um einen Kreis, da die
Koeffizienten von u^2 und v^2 übereinstimmen und von null
verschieden sind; das Glied mit u v fehlt.
Ferner geht der Kreis durch den Nullpunkt,
wie vorauszusehen war!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 140
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 16:57: |
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Hi Hans Rudolf,
nochmal als Wiederholung die Frage bei der Parabel:
1)
Wie kommst du auf die Abbildungsgleichungen:
x=u/(u^2+v^2), y=v/(u^2+v^2)
2) Wiso ist bu^2+bv^2+au–v=0 eine Kreisgleichung?
Welchen Mittelpunkt und Radius hat dieser Kreis?
ich bin Kreisgleichungen der Form
z*z%-m*z%-m%*z+g=0
gewohnt.
viele Grüße N.
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Helfer
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 18:12: |
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Siehe
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308 /128742.html?1034168635 |
Protester
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Oktober, 2002 - 09:04: |
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Bitte keine Antworten aus Protest gegen die Pop-up-Fenster! |
tiberius
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Oktober, 2002 - 09:49: |
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Welche Pop-up-Fenster? Ich seh' keine Pop-up-Fenster. |
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