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Andreas
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 07:07: |
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Hallo, Für die folgende Aufgabe finde ich leider keinen Lösungsansatz. Kann mir jemand einen Lösungsweg vorschlagen oder sonst wie helfen? Die Aufgabe lautet so: In der Kegelschnittgleichung (b - a) x y + (a -1) x + (1 – b) y = 0 sind a und b zwei verschiedene reelle Konstanten. Durch eine Parallelverschiebung des (x,y)-Koordinatensystems erzeuge man mit den neuen Koordinaten X,Y die äquivalente Gleichung X *Y = C. Man drücke C durch a und b aus. Vielen Dank im Voraus und freundliche Grüsse Andreas
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 319 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 08:07: |
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Andreas, Der Lösungsweg ist eigentlich gemäss Aufgabentext "straightforward" : Die Translation des Koordinatensystems wird durch x = X + u , y = Y + v beschrieben, wobei u und v zu bestimmen sind. Setze dazu obige x,y in die Kegelschnittgleichung ein, ordne nach XY, X, Y und setze die Koeffizienten von X und Y gleich Null. Das ergibt die gesuchten u,v und damit letztlich die Konstante C.
mfg Orion
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megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 08:24: |
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Hi Andreas, Eine hilfreiche Bemerkung am Anfang: Wie man leicht feststellt, liegt eine Normalhyperbel vor, d.h. eine Hyperbel, deren Asymptoten aufeinander senkrecht stehen. Diese Hyperbel geht durch den Nullpunkt O des (x,y) - Koordinatensystems, wie man sofort sieht. Zuerst ermitteln wir die Koordinaten xo,yo des Mittelpunktes M der Hyperbel, indem wir ihre Asymptoten a1, a2 bestimmen. Diese verlaufen parallel zu den Koordinatenachsen, wie man aus der gegebenen Gleichung erkennt. Wir lösen diese Gleichung nach y auf; es kommt. y = [ (1 - a) x ] / [ (b – a ) x + 1 – b ) ] Die vertikale Asymptote a1 erhält man nun dadurch, dass man beim letzten Bruch den Nenner null setzt. Die Gleichung von a1 lautet somit: x = ( b -1) / ( b – a ) . Die horizontale Asymptote a2 erhält man dadurch, dass man den Grenzwert von y für x gegen unendlich ermittelt; dieser Grenzwert ist ( 1 – a ) / ( b -a ). Die Gleichung von a2 lautet somit: y = (1 – a ) / ( b – a ) . Der Schnittpunkt dieser Asymptoten ist der Mittelpunkt M der Hyperbel. Für die Koordinaten xo, yo von M erhalten wir demnach: xo = ( b - 1) / ( b – a ) yo = (1 – a) / ( b – a ) . Nun führen wir die verlangte Parallelverschiebung des (x,y) - Koordinatenystems mit M als neuem Nullpunkt aus. Die Koordinaten eines Punktes bezüglich dieses neuen Systems heißen X,Y. Zwischen den neuen Koordinaten X,Y und den alten Koordinaten x, y bestehen die Beziehungen: X = x - xo, Y = y – yo . Wir erhalten somit zwei Formen für die Gleichung unserer Hyperbel, nämlich: X * Y = ( x - xo ) * ( y – yo ) = C Der alte Nullpunkt O mit x = 0 und y = 0 liegt auf der Hyperbel; mithin gilt: xo * yo = C, woraus wir für die gesuchte Konstante C den Term C = ( b – 1 ) * (1 - a ) / (b – a ) ^ 2 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° erhalten. Freigewähltes numerisches Beispiel: a = ¼ , b = ½ . Die Gleichung der Hyperbel lautet: x y – 3 x + 2 y = 0 Mittelpunkt M: xo = - 2 ; yo = 3. Konstante C = - 6, ALSO X Y = - 6 . Mit freundlichen Grüßen Hans Rudolf Moser, megamath.
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Andreas
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 10:08: |
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Ich bedanke mich bei Orion und bei megamath für die Hilfe und die Arbeit, es war sehr aufschlußreich! Mit freundlichen Grüßen Andreas |
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