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kathinka
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. September, 2002 - 13:32: | 
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hallo, ich habe ein paar Fragen aus einer Klausur (ist schon geschrieben), die ich immer noch nicht verstehe:
1) beweisen sie: der ggt (Fn+1 , Fn) zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen ist stets 1.
??? habe schon mit Kom. gesprochen und Bücher gelesen, aber ich schaffe es nicht. nicht nur Lösung bitte, sondern auch erklären.
2) Bestimmen sie alle irreduziblem Polynome vom Grad 4 im Polynomring F2 (X).
Das neue Semester fängt bald an, und ich möchte wenigstens meine Fehler verstanden haben, bevor wieder so viel auf mich einbricht.
danke euch,
Kathinka
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SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 577
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. September, 2002 - 14:16: |
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Hallo Kathinka
Der erste Beweis geht mit Induktion, und der Rechenregle, die der euklidische Algorithmus benutzt, ggT(a,b)=ggT(a-b,b):
n=0: ggt(F1,F0)=ggt(1,0)=1
n>0: ggT(Fn+1,Fn)=ggT(Fn+1-Fn,Fn)=ggT{Fn-1,Fn)=1 nach Induktionsvoraussetzung.
Das zweite ist durchprobieren, wobei man sich etwas helfen kann.
Die reduziblen Polynome von Grad 4 haben eine Nullstelle (1), oder sind Produkt zweier irreduziblen Polynome von Grad 2 (2). Es gibt aber nur ein irrduzibles Polynom vom Grad 2: x²+x+1.
Also kommt für (2) nur (x²+x+1)²=x4+x²+1 in Frage.
Also bleiben folgende irreduziublen übrig, wobei man die Suche beschleunigen kann, wenn man sich überlegt, dass in diesem Polynomring gilt f(0)="konstanter Term", f(1)="Anzahl Monome mit Koeeffizient nicht 0":
x4+x+1, x4+x3+1, x4+x³+x²+x+1
viele Grüße
SpockGeiger |
Kathinka
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 12:21: |
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Hallo Spockgeiger.
Vielen Dank für deine schnelle Antwort. ich werde das jetzt mal in Ruhe durcharbeiten und hoffe, ich verstehe es. sonst schreibe ich dir einfach nochmal, das ist hoffentlich ok?!
du hast aber nicht zufälig die Klausur mitgeschrieben?
lg
Kathinka |
SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 578
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. September, 2002 - 13:24: |
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Hi Kathinka
Frag soviel Du willst.
Wie kommst Du denn darauf, dass ich die Klausur mitgeschrieben hab?
viele Grüße
SpockGeiger |
Kathinka
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. September, 2002 - 10:34: |
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Hi, mein letzter Beitrag scheint verschwunden zu sein. zu deiner frage: ich habe im stillen gehofft, du hättest die lösungen zu den anderen aufgaben auch und könntest sie mir erklären)
zu den 2 aufgaben oben: 1 ist klar (oh mann)
und 2 nicht so ganz. wieso ist x2(wie geht "hoch 2"??)also wieso ist x2+x+1 die einzige irred. Lsg? x2+1 ist doch dann auch irred? (laut def. oben) ??? und wieso immer nur 1 am ende? geht da nicht auch x2+x+5?????
Fragen über Fragen.
Kathinka |
SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 579
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. September, 2002 - 13:28: |
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Hi Kathinka
hoch2 und hoch3 einfach AltGr+ die Zahl. Ansonsten kann man alles hochstellen. Schau mal in die Formatierinfo.
Ich glaube, Dein größtes Problem ist der Umgang mit F2. Der Körper besteht nur aus den zwei Elementen 0 und 1. 1+1 ist 0. deswegen ist x²+1 nicht irred., da x²+1=(x+1)(x+1). Natürlich ist x²+x+5(=x²+x+1) irred.
viele Grüße
SpockGeiger |
Joopi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. September, 2002 - 13:36: |
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Hi SpockGeiger,
ich habe null Ahnung von dem worüber ihr da redet, aber gelten in dem Bereich wirklich ganz andere Rechenregeln, oder ist das ein Versehen:
(x²+x+1)² = x^4+x²+1 ?
Wenn ich das ausrechne, kommt da raus:
(x²+x+1)² = x^4 + 2x³ + 3x² + 2x + 1
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Joopi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. September, 2002 - 13:40: |
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Oh-oh, es scheinen wirklich andere Regeln zu sein, ich kann mir nicht vorstellen, dass dir bei x²+1=(x+1)(x+1) ein Fehler passiert ist.
Ich bitte um Entschuldigung wegen der Störung!
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SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 580
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. September, 2002 - 13:44: |
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Hi Joopi
Der Körper, aus dem die Koeffizienten kommen, besteht nur aus 0 und 1. 1+1 ist 0. Ansonsten erfüllt dieser kleinste Körper alle Körperaxiome, und wird vor allem von Informatikern u.A. in der Kryptographie benutzt.
viele Grüße
SpockGeiger |
Joopi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. September, 2002 - 14:57: |
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Ok, danke!  ... vielleicht später mal 
*g*
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Kathinka
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. September, 2002 - 21:12: |
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du hast völlig recht, mein Problem ist F2. DAs was du da geschrieben hast, weiß ich, heißt das für die Rechnung von dir da oben:
(x+1)(x+1)= x²+2x+1 = (in F2, weil 2x=0) x²+1 ????
Ist das so richtig, oder bin ich auf dem Holzweg?
Kathinka
(ps: danke dass du dir so viel Mühe gibst) |
Karl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. September, 2002 - 21:50: |
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Hey,
soweit ich das verstanden hab, gilt:
(x+1)(x+1)= (ausmultiplizieren, 2x=x+x=x(1+1))x^2 + x*(1+1)+ 1 (das mittlere 1+1=0, d.h. der Teil entfällt).
Gruß Karl
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SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 582
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. September, 2002 - 22:40: |
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Hi
Ja genau. 2=0, also 2x=0.
viele Grüße
SpockGeiger |
Tyll (tyll)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. September, 2002 - 08:41: |
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Oder um es kurz zufassen:
Alles modulo 2 rechnen.
Somit sind alle ungeraden Zahlen =1 und alle geraden =0
Deswegen gilt z.B. (x²+x+1)² = x^4 + 2x³ + 3x² + 2x + 1 = x^4 + 0x³ + 1x² + 0x + 1 = x^4 + x² + 1
Tyll |
Kathinka
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. September, 2002 - 10:31: |
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ok,ok, das hab ich gecheckt.(welch ein wunder). wie finde ich jetzt aber heraus, welche polynome vom grad 4 irred. sind? du sagtest durch probieren? Ich habe hier noch 8 Möglis:
1) x^4+x³+x²+x+1
2) x^4+x³+x+1
3) x^4+x²+x+1
4) x^4+x³+x²+1
5) x^4+x³+1
6) x^4+x²+1
7) x^4+x+1
8) x^4+1
Dank Tyll kann ich Nr.6 jetzt streichen, aber muss ich das jetzt bei jeder nummer irgendwie probieren durch quadrieren eines polynoms vom grad 2? erscheint mir so wahllos. |
Kathinka
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. September, 2002 - 10:53: |
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...ich habe 6) und 8) ausschließen können mit (x²+1) und (x²+x+1). Aber mehr gibt es doch garnicht mit x², oder?? was mach ich mit den anderen 6? du Hattest nur 3 Lösungen.
(hach ich bin verzweifelt) |
SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 583
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. September, 2002 - 15:04: |
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Hallo Kathinka
Ich helf Dir gern, aber tu mir doch bitte sicherheitshalber nen Gefallen. Lies meinen ersten Beitrag nochmal genau, und versicher Dich bitte, die Definition von irreduzibel richtig verstanden zu haben. Dann frag nochmal. Sonst fiele mir jetzt nichts besseres ein, als das von oben nochmal zu schreiben, und das ist irgendwie öde
viele Grüße
SpockGeiger |
Kathinka
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 09:55: |
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hi du, irgendwie kommt immer nur jeder zweite Beitrag von mir an. egal, x²+1 ist nicht irred., war blöd von mir. ist ja(x+1)².
aber die weitere Folgerung:
f(0)="konstanter Term", f(1)="Anzahl Monome mit Koeeffizient nicht 0"
kapier ich nicht. so was hatten wir nicht.
Kathinka}
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SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 584
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 14:56: |
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Hi Kathinka
Sory, da hab ich Blödsinn geschrieben.
f(0)="konstanter Term" gilt doch immer.
Das andere uss ich n bißchen anders formuieren. Nehmen wir zum Beispiel x³+x²+1. Wenn ich 1 einsetze, ergibt jedes Monom (1,x²,x³) 1, und die Anzahl ist ungerade, also kommt insgesamt 1 raus. Bei x³+x²+x+1 ist die Anzahl der Monome gerade, also ist 1 ne Nllstelle.
Insgesamt sind also alle (nichtlinearen) Polynome, deren konstanter Term 0 ist, oder die eine gerade Anzahl Monome (mit Koeffizient 1) haben, auf jeden Fall reduzibel.
viele Grüße
SpockGeiger |
Kathinka
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 18:14: |
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"bei x³+x²+x+1 ist die anz. der monome gerade" - ok, das kapier ich...
aber nicht 1, sondern -1 ist doch die Nullstelle ?!?! und was hat das mit gerader anz. der monome zu tun?
bei x^8+x^6+x^4+1 gibt es doch garkeine nullstelle, obwohl monomanz. gerade ist. ?????
ich raff´s nicht!
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SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 585
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. September, 2002 - 23:51: |
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Hallo Kathinka
Wir reden doch über Polynome über F2! Da ist doch -1=1
viele Grüße
SpockGeiger |
Kathinka
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. September, 2002 - 16:00: |
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ich hab´s kapiert! oh klasse, ich danke dir!
wenn ich 1 in mein zweites beispiel einsetzte kommt zwar eigentlich 4 und nicht null raus, weil wir aber in f2 sind, eben doch. 4 ist kongruent null in mod 2 sozusagen.
hey, ich könnte dich knuddeln.
...hab noch andere Fragen. soll ich die lieber in ein anderes Forum stellen? (vorausgesetzt, du beantwortest sie mir noch)
Kathinka |
SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 586
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. September, 2002 - 03:07: |
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Hi Kathinka
> wenn ich 1 in mein zweites beispiel einsetztekommt zwar eigentlich 4 und nicht null raus, weil wir aber in f2 sind, eben doch. 4 ist kongruent null in mod 2 sozusagen.
Na ja, nicht ganz. Kommt drauf an, was 4 für Dich bedeutet. Die natürliche Zahl 4 ist nicht in F2 drin, also kann sie auch nicht als Ergebnis rauskommen. Aber alle Mathematiker, die sich mit allgemeinen Körpern beschäftigen, definieren 4 als 4:=1+1+1+1, und eine 1 muss per Definition in jedem Körper sein (viel mehr weiß man i.A. auch nicht, da gibt es nur noch 0, wie die anderen Elemente aussehen, barucht man meistens gar nicht wissen). Und in F2 gilt zufällig 4=0, da 2(=1+1)=0.
> hey, ich könnte dich knuddeln.
Da weiß man doch wieder, warum man das macht
> ...hab noch andere Fragen. soll ich die lieber in ein anderes Forum stellen?
Angesichts der vielen Leute, die sich über zu lange Threads aufregen, würde ich einen neuen anfangen. Du kannst mir aber auch gern mailen, oder ICQ, Chat, irgendwas...Könnte noch produktiver sein.
> (vorausgesetzt, du beantwortest sie mir noch)
Warum denn nicht, hab hier schon lange keine so nette Diskussion geführt.
viele Grüße
SpockGeiger
(Beitrag nachträglich am 24., September. 2002 von SpockGeiger editiert) |
