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ronny rüger (ronny77)
Neues Mitglied Benutzername: ronny77
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. August, 2002 - 13:19: |
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Hi Leute! Hab 'ne lustige Aufgabe für euch! Ist ganz interessant,aber knifflich! Man ermittle alle diejenigen positiven ganzen Zahlen,die nicht als Differenz zweier Quadratzahlen darstellbar sind! Viel Spaß! |
Juppy (juppy)
Junior Mitglied Benutzername: juppy
Nummer des Beitrags: 6 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 13:24: |
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Hi ronny danke, hat Spaß gemacht. Hier die Lösung: Eine positive ganze Zahl lässt sich immer auf eine der vier Weisen 4n+1, 4n+2, 4n+3 oder 4n+4 darstellen. Dafür gilt immer eine dieser drei Behauptungen: 1) alle ungeraden Zahlen sind darstellbar, also alle Zahlen der Formen 4n+1 und 4n+3 2) alle Zahlen der Form 4n+4 sind darstellbar. 3) alle Zahlen der Form 4n+2 sind nicht darstellbar. Beweis: 1) Da 2n+1 identisch mit (n+1)² - n² ist, sind mit einem geeignet gewählten n stets alle ungeraden Zahlen 2n+1, also alle 4n+1 sowie auch 4n+3 auf die geforderte Weise darstellbar, eben als Differenz der Quadrate von n+1 und n. 2) Jede beliebige vorgegebene Zahl 4n+4 lässt sich schreiben als: 4n+4 = (n+2)² - n², also auch auf die geforderte Weise. 3) jede Zahl der Form 4n+2 ist nicht darstellbar als Differenz der Quadratzahlen a² und b², denn 4n+2 müsste sich sonst als a²-b² schreiben lassen: 4n+2 = a²-b² <=> 2*(2n+1) = (a-b)*(a+b) Die linke Seite 2*(2n+1) enthält den Primfaktor 2 genau einmal, da der Faktor 2n+1 den Primfaktor 2 nicht enthalten kann, weil er eine ungerade Zahl ist. Auf der rechten Seite steht das Produkt (a-b)*(a+b), für das eine der beiden Möglichkeiten u oder g gelten muss: u) Wenn a-b ungerade ist, ist auch a+b ungerade, dann enthält das Produkt (a-b)*(a+b) den Primfaktor 2 gar nicht; g) Wenn a-b gerade ist, ist auch a+b gerade, dann enthält das Produkt den Primfaktor 2 genau zweimal. In beiden Fällen kann die Primfaktorzerlegung des Terms 2*(2n+1) auf der linken Seite nicht mit der des Terms auf der rechten Seite übereinstimmen. Somit sind die Behauptungen 1, 2 und 3 bewiesen und als Konsequenz daraus lautet die Antwort auf die Frage also: Alle Zahlen, die nicht als Differenz zweier Quadratzahlen darstellbar sind, sind immer von der Form 4n+2. mfG Juppy |
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