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Beitrag |
    
Orcan
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. September, 2002 - 20:24: | 
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Beweise:
für alle n € IN und alle aj >= 0 gilt:
Pj=1n (1+aj) >= 1 + Sn j=1 aj
also wenn alle aj identisch wären, erkenne ich daraus die Bernoullische Ungleichung, aber so ... ? |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 307
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. September, 2002 - 07:54: |
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Orcan :
Deine Beobachtung ist richtig. Der Beweis
der obigen Ungleichung lässt sich sehr
leicht durch vollständige Induktion erbringen,
ganz analog zu dem bekannten Beweis der
Bernoulli-Ungleichung.
mfg
Orion
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Orcan
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. September, 2002 - 21:09: |
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oh, das ist ja wirklich einfach!
Behauptung:
Pj=1n (1+aj) >= 1 + Sj=1n aj
Induktionsanfang:
n=1:
Pj=11 (1+aj) >= 1 + Sj=11 aj
also
(1 + a1 ) >= 1 + a1 | wahr
Versuch, mit Gebrauch der Aussage für n die analoge Aussage für n+1 herzuleiten:
Linke Seite mit n+1 anstatt n:
L = Pj=1n+1 (1+aj)
= (1+an+1) * Pj=1n(1+aj)
nach Induktionsvoraussetzung Pj=1n(1+aj) >= 1 + Sj=1n aj gilt dann:
L >= (1+an+1) * (1 + Sj=1n aj)
nun müsste (1+an+1) * (1 + Sj=1n aj)
irgendwie nach unten abgeschätzt werden, so dass es sich ergibt, dass es größer als 1 + Sj=1n+1 aj ist, es ist 1 + Sj=1n+1aj = 1 + an+1 + Sj=1naj,
also bleibt zu zeigen:
(1+an+1) * (1 + Sj=1n aj) >= 1 + an+1 + Sj=1naj
<=>
1 + Sj=1n aj + an+1 + an+1*Sj=1n aj >= 1 + an+1 + Sj=1naj
<=>
Sj=1n aj + an+1*Sj=1n aj >= Sj=1naj
<=>
an+1*Sj=1n aj >= 0
wars das wirklich? Ich kanns kaum glauben...
DANKE jedenfalls für die Ermutigung, dass es sehr leicht sei!
mfG
Orcan |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 308
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. September, 2002 - 07:40: |
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Ja, das war's.
mfg
Orion
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