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Lisette
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 05. Oktober, 2002 - 07:15: |
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Hi, ich sitze bei meinen Prüfungsvorbereitungen und komme mit folgendem Beweis nicht weiter: Beweise: es gilt für n>=2: (n+1)^n > 2^n*n! Es wäre riesig nett, wenn mir da jemand helfen könnte! Lisette |
megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 05. Oktober, 2002 - 08:05: |
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Hi Lisette, Wenn man die Ungleichung äquivalent umformt zu ( n + 1 ) / 2 > ( n ! ) ^ (1 / n) , so erkennt man , dass die Folge der natürlichen Zahlen 1 , 2 , ……., n eine Rolle spielt. Das arithmetische Mittel a dieser Zahlen ist a = 1 / n * [ n * ( n + 1 ) ] / 2 = 1 / 2 * ( n + 1 ) , das geometrische Mittel g ist g = [ 1 * 2 * ….* n ] ^ ( 1 / n ) = [ n ! ] ^ ( 1 / n ). Aus der bekannten Ungleichung über das arithmetIsche und geometrische Mittel (a > g , hier ohne Gleichheit ) folgt direkt : 1 / 2 * ( n + 1 ) > [ n ! ] ^ ( 1 / n ) , q.e.d. Mit freundlichen Grüssen H.R. Moser, megamath.
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Lisette
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 05. Oktober, 2002 - 09:12: |
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Hi megamath, das ist klar und einleuchtend, ich danke Dir sehr, jetzt komme ich auch bei anderen ähnlichen Aufgaben gut voran! Lisette |
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