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Fauli
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. März, 2001 - 10:20: | 
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Hallo!
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte. Hab Probleme mit den verschiedenen Aufgabenstellungen bei Isometrien.Vielleicht kann mir jemand das näher erklären.
1)Zeigen sie, dass Matrix A bezogen auf Standardbasis des R4 eine Isometrie darstellt.
Was heisst denn bezogen auf Standardbasis?
2)Geben sie eine Isometrie PHI:R3-->R3 durch Angabe ihrer Abb.matix in Bezug auf die Standardbasis an. Ich habe 3 Vektoren im R3 gegeben
Was für Komponenten hat die Abb.matrix?
3)Was heisst denn allgemein: Im R3 sei bezüglich einer Basis B( nicht Standardbasis) ein Endo durch seine Abb.matrix gegeben
Ich versteh das nicht. Vielleicht kann mir jemand was Grundsätzliches erklären.
Danke |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. März, 2001 - 08:43: |
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Hallo :
Grundsaetzlich gilt folgendes :
B=(b_1,...b_n) sei eine Basis des Vektorraums V,
f : V --> V ein Endomorphismus. Die Matrix
A = (a_ik) von f bezŸglich der Basis B ist
definiert durch
f(b_i) = sum[k]a_ik b_k
Dabei bedeutet sum[k] : Summe Ÿber k von 1 bis n.
Ist dann
x = sum[i]x_i b_i
ein beliebiger Vektor, dargestellt als Linearkombination der b_i, so gilt
f(x) = sum[k]y_k b_k mit y_k = sum[i]a_ik x_i.
Nun sei C = (c_1,...,c_n) eine andere Basis von V.
Frage : Wie lautet die Matrix von f bezgl. C ?
Wir haben
c_i = sum[j]u_ij b_j <==> b_k = sum[m]v_km c_m
Dabei ist U := (u_ij) die Matrix der Basistransformation B--> C, und (v_km) = U^(-1) ihre Inverse. Setzt man das alles zusammen, so hat man
f(c_i) = sum[m](sum[j]sum[k]u_ij a_jk v_km) c_m .
Daraus liest man ab : die Matrix von f bzgl. C ist
A' = U A U^(-1) .
Ist B die Standardbasis von R^n , so heisst das
b_i= e_i := (0,...,0,1,0,...,0)^t , i = 1,...,n
wobei die 1 in der Position i steht (t heisst
"transponiert", also Spaltenvektor). Es gilt :
Die Spaltenvektoren von A sind die Bilder der
Basisvektoren :
f(e_i) = (a_1i,a_2i,...,a_ni)^t .
Alles klar ?
Hans |
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