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Zahlentheoretische Fragen

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Björn
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Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Februar, 2001 - 15:35:   Beitrag drucken

Ich hab folgende Fragen:

1. Eine Mersenne - Primzahl ist eine Primzahl der Form 2P-1. P ist dabei ebenfalls eine Primzahl. Soweit alles klar. Ich habe mal gelesen, daß wenn man herausfinden will ob es sich hierbei um eine Primzahl handelt, diese Zahl teilen muß durch das P-te Folgeglied folgender Rekursion(en)

F1 = 4
Fn = Fn - 1 * Fn - 1 - 2

(Lucas-Lehmer-Test)

Nun habe ich ausgerechnet, da ßman für die 38. Mersenne - Primzahl (26972593 - 1) einen Ausdruck der Form

10102097960

bekommen müßte. Habe ich mich verrechnet, habe ich den LL - Test nicht richtig verstanden oder werden die Zahlen mittels Fermatscher-Regeln (oder irgendwas) dividiert?

2. Kann es sein, daß der Rest immer 2P - 3 ist?

3. Wie kann man Gleichungen wie zum Beispiel

an - a mod n = 0

beweisen bzw. wiederlegen?

4. Kennt jemand eine Internet - Seite wo man die Hilbertschen Probleme nachlesen kann (auch Urtext) ?
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Conny
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Februar, 2001 - 12:46:   Beitrag drucken

26972593 - 1 ist eine ungerade Zahl

10102097960 ist eine gerade Zahl

=> die beiden können nicht gleich sein
=> du hast dich verrechnet
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Björn
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Veröffentlicht am Montag, den 26. Februar, 2001 - 10:24:   Beitrag drucken

Nennen wir mal die Zahl aus dem LL - Test, mit der wir die Zahl dividieren müssen, eine Lucas - Zahl (das ist eigentlich was anderes, ist jetzt aber nicht so schlimm). Jetzt muß man die Zahl dividieren durch das n.te Glied der (so nenn ich sie mal) Lucas - Lehmer - Rekursion. Die erste Zahl der Rekursion ist die 4.

Will man überprüfen, ob 23 - 1 eine Primzahl ist, so dividiert man die 2.te Lucaszahl durch diese Zahl.

14 mod 7 = 0

(Okay, 2. Frage selbst beantwortet)

Die 4 wird für jeden (!) Exponenten n einer Mersenne-Zahl (n - 2) mal quadriert. Also muß man die 4 für 6972593 genau 6972591 mal quadrieren. (Die -2 der LL-Rekursion stört nicht, da sie bei immer größer werdenden Zahlen nicht oder kaum ins Gewicht fällt)

426972593 = 1010x | Log(...)
26972593 * Log(4) = 10x | Log(...)
6972593 * Log(2) + Log(4) = x

x = 2098960,2426166969618413397486615

Das ist zwar ein nichtperiodischer unendlicher Ausdruck, allerdings muß man bedenken, daß man diese Zahl in das 1010x einsetzen muß. Und da die Logarithmengesetze stimmen ist das Ergebnis eine gerade Zahl. Aber wer sagt denn, daß gerade Zahlen nur gerade Teiler haben müssen?

Nur, wie kann man so große Zahlen überhaupt irgendwo abspeichern? Selbst 1010100 kann man ausgeschrieben nirgends abspeichern.

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