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Integral von sin(ax)*cos(bx)...

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Ralf
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 21:15:   Beitrag drucken

Wie löst man das Integral von sin(ax)*cos(bx) wobei zu beachten wäre a ungleich b

Das gleiche Problem habe ich bei sin(ax)*sin(bx)
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 22:26:   Beitrag drucken

Hi Ralf ,

Um das Integral einigermassen bequem lösen zu können,
benötigen wir einen Trick.
Dieser besteht darin, dass wir die bekannte goniometrische
Relation
sin A + sin B = 2 *sin [(A+B)/2) * cos [(A - B)/2]
heranziehen und dabei ansetzen:
(A+B) / 2 = a* x , (A-B) / 2 = b* x.
Aus den beiden letzten Gleichungen berechnen wir durch
Addition bezw. Subtraktion:
A = (a+b) * x , B = (a-b)* x.

Jetzt können wir das Integral in Angriff nehmen, indem wir
den Integranden f(x) = sin ax * cos bx wie folgt umformen
Es gilt:
f(x) = sin[(A+B)/2] * cos [(A-B)/2 ]= ½ * {sin A + sin B}
= ½* sin [(a+b)x] + ½* sin [(a-b)x]
Die Integration liefert das unbestimmte Integral F(x)
als Schlussresultat:
F(x) = -1/ [2*(a-b) ] * cos [(a-b) x] - 1/ [2* ( a+b) ] * cos [(a+b)x]
Vorausgesetzt werden muss, dass der Hauptnenner
( a + b ) * ( a - b ). = a ^ 2 - b ^ 2 nicht null ist !

Analog gehst Du beim zweiten Integral zu Werk !

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 07:39:   Beitrag drucken

Hi Ralf,

Nun wenden wir uns Deiner zweiten Aufgabe zu.
Das Ergebnis lautet:
int [ sin (ax) * sin (bx) * dx ] =
sin [(a-b) x] / [2*(a-b)] - sin [(a+b) x ] / [2*(a+b)]
Voraussetzung: a^2 verschieden von b^2.

******************************************
Beweis I
Mit Hilfe der Relation
sin [(A+B)/2]* sin [(A-B) / 2] = - ½ * [cos A - cos B]
analog zur Berechnung im vorhergehenden Beitrag.

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Beweis II
Mit Hilfe der komplexen Schreibweise für sin (u):
sin(u) = [e ^ (i u ) - e ^ ( - iu)] / ( 2 i ).

Der Integrand f(x) wird zu:
{ [ e ^(iax) - e ^(-iax)] / (2i) }* { [e ^(ibx) - e ^(-ibx)]/ (2i}=

- 1 / 4 * { e ^ ( i (a+b) x ) - e ^ ( i (a-b)x ) - e ^( -i (a-b)x) + e ^ ( - i(a+b)x)}
= - ½ * { [e^(i(a+b)x +e^(-i(a+b)x)] / 2 - [e^(i(a-b)x+e^(-i(a-b)x)] / 2 }
= - ½ * {cos [(a+b)x ] - cos [( a-b)x] }

Wenn wir nun integrieren, erhalten wir das eingangs
notierte Schlussresultat !

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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Cosine (Cosine)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 20:05:   Beitrag drucken

Hi Ralf, Hi megamath!
Es gibt noch eine zugegeben sehr, sehr aufwendige Methode, die aber auch funktioniert, wenn man viel Zeit hat, und zwar mit partieller Integration (=Produktintegration)
Das muss man zweimal durchziehen, dann taucht das gesuchte Integral sin(ax)cos(bx), bzw. sin(ax)sin(bx) auf der rechten Seite wieder auf, und man kann nach dem gesuchten Integral auflösen.
Ciao
Cosine

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