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Ralf
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 21:15: |
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Wie löst man das Integral von sin(ax)*cos(bx) wobei zu beachten wäre a ungleich b Das gleiche Problem habe ich bei sin(ax)*sin(bx) |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 22:26: |
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Hi Ralf , Um das Integral einigermassen bequem lösen zu können, benötigen wir einen Trick. Dieser besteht darin, dass wir die bekannte goniometrische Relation sin A + sin B = 2 *sin [(A+B)/2) * cos [(A - B)/2] heranziehen und dabei ansetzen: (A+B) / 2 = a* x , (A-B) / 2 = b* x. Aus den beiden letzten Gleichungen berechnen wir durch Addition bezw. Subtraktion: A = (a+b) * x , B = (a-b)* x. Jetzt können wir das Integral in Angriff nehmen, indem wir den Integranden f(x) = sin ax * cos bx wie folgt umformen Es gilt: f(x) = sin[(A+B)/2] * cos [(A-B)/2 ]= ½ * {sin A + sin B} = ½* sin [(a+b)x] + ½* sin [(a-b)x] Die Integration liefert das unbestimmte Integral F(x) als Schlussresultat: F(x) = -1/ [2*(a-b) ] * cos [(a-b) x] - 1/ [2* ( a+b) ] * cos [(a+b)x] Vorausgesetzt werden muss, dass der Hauptnenner ( a + b ) * ( a - b ). = a ^ 2 - b ^ 2 nicht null ist ! Analog gehst Du beim zweiten Integral zu Werk ! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 07:39: |
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Hi Ralf, Nun wenden wir uns Deiner zweiten Aufgabe zu. Das Ergebnis lautet: int [ sin (ax) * sin (bx) * dx ] = sin [(a-b) x] / [2*(a-b)] - sin [(a+b) x ] / [2*(a+b)] Voraussetzung: a^2 verschieden von b^2. ****************************************** Beweis I Mit Hilfe der Relation sin [(A+B)/2]* sin [(A-B) / 2] = - ½ * [cos A - cos B] analog zur Berechnung im vorhergehenden Beitrag. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Beweis II Mit Hilfe der komplexen Schreibweise für sin (u): sin(u) = [e ^ (i u ) - e ^ ( - iu)] / ( 2 i ). Der Integrand f(x) wird zu: { [ e ^(iax) - e ^(-iax)] / (2i) }* { [e ^(ibx) - e ^(-ibx)]/ (2i}= - 1 / 4 * { e ^ ( i (a+b) x ) - e ^ ( i (a-b)x ) - e ^( -i (a-b)x) + e ^ ( - i(a+b)x)} = - ½ * { [e^(i(a+b)x +e^(-i(a+b)x)] / 2 - [e^(i(a-b)x+e^(-i(a-b)x)] / 2 } = - ½ * {cos [(a+b)x ] - cos [( a-b)x] } Wenn wir nun integrieren, erhalten wir das eingangs notierte Schlussresultat ! °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
Cosine (Cosine)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 20:05: |
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Hi Ralf, Hi megamath! Es gibt noch eine zugegeben sehr, sehr aufwendige Methode, die aber auch funktioniert, wenn man viel Zeit hat, und zwar mit partieller Integration (=Produktintegration) Das muss man zweimal durchziehen, dann taucht das gesuchte Integral sin(ax)cos(bx), bzw. sin(ax)sin(bx) auf der rechten Seite wieder auf, und man kann nach dem gesuchten Integral auflösen. Ciao Cosine |
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